Evaluar $\int_{1}^{\infty}$ $\frac{1-(x-[x])}{x^{2-\sigma}}$ dx donde [x] denota la mayor función entera y $0<\sigma<1$

Question

Evaluar $\int_{1}^{\infty}$ $\frac{1-(x-[x])}{x^{2-\sigma}}$ dx donde [x] denota la mayor función entera y $0<\sigma<1$ .

Mi intento:- 1-(x-[x]) $\leq 1 \Rightarrow$ $\int_{1}^{\infty}$ $\frac{1-(x-[x])}{x^{2-\sigma}}$ dx $\leq$ $\int_{1}^{\infty}$ $\frac {1}{x^{2-\sigma}}$ dx= $\frac{1}{1-\sigma}$

$\int_{1}^{\infty}$ $\frac{1-(x-[x])}{x^{2-\sigma}}$ dx= $\int_{1}^{2}$ $\frac{1-(x-1)}{x^{2-\sigma}}$ dx+ $\int_{2}^{3}$ $\frac{1-(x-2)}{x^{2-\sigma}}$ dx+... Pero en la integración no obtengo un valor finito.

Answer 1

Tratando de seguir su camino.

Usted escribió $$\int_1^\infty(1-x+\lfloor x\rfloor )\, x^{\sigma -2}\,dx=\sum_{n=1}^\infty \int_n^{n+1}(n+1-x)\,x^{\sigma -2}\,dx=\sum_{n=1}^\infty I_n$$ $$I_n=\int_n^{n+1}(n+1-x)\,x^{\sigma -2}\,dx=\frac{ (n+\sigma )n^{\sigma }-n (n+1)^{\sigma }}{n (1-\sigma) \sigma }=\frac{n^{\sigma -1} (n+\sigma )-(n+1)^{\sigma } } {(1-\sigma)\, \sigma }$$ y aquí el problema empieza a ser difícil si no estás familiarizado con la función zeta.

Esperando que así sea, el resultado debería ser $$\frac{1+\sigma\, \zeta (1-\sigma ) } {(1-\sigma) \,\sigma }$$

Answer 2

Esta no es una respuesta completa, pero es de esperar que proporcione algunas ideas:

Dejemos que $f(x) = \frac{1-(x-\lfloor x\rfloor)}{x^{2-\sigma}}$ , entonces como $0\leqslant x-\lfloor x\rfloor<1$ y $x^{2-\sigma}>0$ , $f$ es no negativo en $[1,\infty)$ . Por lo tanto, por el teorema de Tonelli, $$ \int_1^\infty f(x)\ \mathsf dx = \int_1^\infty \sum_{n=1}^\infty f_n(x)\ \mathsf dx = \sum_{n=1}^\infty \int_n^{n+1} f_n(x)\ \mathsf dx, $$ donde $f_n(x) = f(x)\cdot\mathsf 1_{[n,n+1)}$ . Por inducción (la parte complicada), podemos demostrar que $$ \int_n^{n+1} f_n(x)\ \mathsf dx = \frac{n^{\sigma -1} (n+\sigma )-(n+1)^{\sigma }}{\sigma(1-\sigma)}. $$ Por lo tanto, $$ \int_1^\infty f(x)\ \mathsf dx = \frac{1+\sigma\, \zeta (1-\sigma ) } {(1-\sigma) \,\sigma }, $$ donde $$ \zeta(s) := \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^s} $$ es la función zeta de Riemann.