Demostrar que un subconjunto del espacio de Bergman es cerrado

Question

El siguiente es el problema 1.10 del capítulo 1 de la obra de Conway Un curso de análisis funcional .

Dejemos que $G$ sea un subconjunto abierto de $\mathbb C$ y demostrar que si $a\in G$ , entonces $\{f\in L^2_a(G): f(a)=0\}$ está cerrado en $L^2_a(G)$ .

Conway define el espacio $L^2_a(G)$ para ser el conjunto de todas las funciones analíticas sobre $G$ con

$$\int\int_G |f(x+iy)|^2 \ dx \ dy<\infty.$$

La expresión anterior es la norma, y el producto interior está dado de la manera obvia:

$$\langle f,g\rangle = \int\int_G f\overline g \ dx \ dy.$$

Este espacio se conoce como el espacio de Bergman, especialmente cuando $G$ es el disco de la unidad abierta.

Answer 1

Dejemos que $\left\{ f_n \right\}$ sea una sucesión de Cauchy en el conjunto dado. Tenemos que demostrar que converge a otro miembro del conjunto.

Conway muestra que $L^2_a(G)$ es completa, por lo que sabemos que la secuencia converge a una función analítica $g$ . (Esto es ligeramente no trivial, por lo que véase el texto para más detalles.) Debemos demostrar que $g(a)=0$ .

Porque $G$ es abierto, existe algún disco cerrado centrado en $a$ contenida en $G$ . Dejemos que este disco se llame $B$ y llamamos a su radio $r$ . Recordemos el Corolario 1.12 de Conway: si $r$ es como antes, entonces para $f$ en este espacio, tenemos

$$|f(a)|\le \frac{1}{r \sqrt{\pi}} \|f\|_{L^2_a(G)}.$$

(Para conocer todos los detalles de la prueba, consulte Conway. Hay dos pasos esenciales. En primer lugar, se demuestra que $\frac{1}{\pi r^2}\int\int_B f(z)=f(a)$ . Entonces se puede aplicar Cauchy-Swartz a esta integral para obtener un límite en $f(a)$ , división $f$ como $f\cdot 1$ .)

Aplicando esta estimación se obtiene

$$|f_n(a) -g(a)|= |g(a)|\le \frac{1}{r\sqrt \pi} \|f_n-g\|_{L^2_a(G)}.$$

(Utilizamos la suposición de que $f_n(a)=0$ .)

Tome el límite como $n$ llega al infinito. El lado derecho de la desigualdad converge a cero por hipótesis, ya que $g$ es el límite de la $f_n$ en el espacio de Hilbert. Esto obliga a $g(a)=0$ .