intercambiar la doble suma

Question

Estoy confundido estoy mirando la nota de mi profesor pero no se como cambia la siguiente doble suma. ¿Puede alguien explicármelo?

$$ \sum_{k = 0}^{\infty}\,\, \sum_{x = k + 1}^{\infty}\operatorname{f}\left(x\right) = \sum_{x = 1}^{\infty}\, \sum_{k = 0}^{x - 1} \operatorname{f}\left(x\right) $$

Answer 1

Es obvio que hay que preocuparse por los problemas de convergencia en este tipo de intercambio. Pero asumiendo que todo converge uniformemente, podemos hacer el intercambio de la siguiente manera (permítanme cambiar $x$ a $n$ desde $x$ será un poco incómodo en la discusión que sigue). Esto es difícil de describir pero fácil de imaginar. Si te confundes, mi sugerencia es que lo dibujes todo.

El valor de $$\sum_{k=0}^\infty \sum_{n=k+1}^\infty f(n)$$ es geométricamente simple. Piensa en los pares $(k,n)$ como puntos enteros en $\mathbb{R}^2$ digamos. Entonces la suma para $k=0$ corresponde a la suma sobre todos los puntos enteros con $x$ -coordinar $0$ y $y$ -coordenada mayor o igual a $1$ que es una columna infinita de puntos. Asimismo, la suma para $k=1$ corresponde a la suma sobre todos los puntos enteros con $x$ -coordinar $1$ y $y$ -coordenada mayor o igual a $2$ Otra columna infinita. En general, la suma será sobre todos los puntos enteros con no negativo $x$ -coordinar y $y$ -coordinar satisfaciendo $n \ge k+1$ . Se trata de una región triangular (dibujarla), y la primera suma corresponde a sumar sobre el triángulo columna a columna.

Por supuesto, otra forma equivalente de sumar sobre este triángulo no es columna por columna, sino fila por fila. En este caso, la primera fila está en $y=1$ y consiste únicamente en el punto con $x=0$ . La segunda fila está en $y=2$ y se compone de los puntos con $x=0$ o $x=1$ . En general, el $n$ a fila tiene $y$ -coordinar $y=n$ y $n$ total de puntos: $x=0,1,\cdots ,n-1$ . Sumando este triángulo fila por fila nos da $$\sum_{n=1}^\infty \sum_{k=0}^{n-1}f(n).$$ Las dos sumas son iguales ya que suman exactamente el mismo conjunto de puntos, sólo que en dos ordenaciones diferentes.