Demostrando que $v\in T_xM$ es tangente en este sentido.

Question

Dejemos que $M$ sea una variedad compacta incrustada en $\Bbb R^m$ . Para cualquier $x\in M$ , $T_xM$ puede identificarse con el subespacio de $T_x\Bbb R^m$ y podemos hablar de $x+tv$ para $v\in T_xM$ .

Como $M$ es compacto, para una vecindad pequeña $M_{\delta}=\{y\in\Bbb R^m|\ \text{dist}(y,M)<\delta\}$ podemos definir $$ \pi_M:M_{\delta}\to M $$ para ser la proyección sobre el punto más cercano en $M$ .

¿Cómo demostramos que $$ \lim_{t\to 0} \frac 1t \text{dist}(x+tv,M)=\lim_{t\to 0} \frac 1t |(x+tv) -\pi_M(x+tv)| = 0 $$ para cualquier $x\in M$ , $v\in T_xM$ ?

Intuitivamente, esto es decir que un vector tangente es realmente tangente al submanifold. Mi formación en geometría diferencial no es muy sólida, así que no sé realmente cómo demostrar esto. Se agradece cualquier ayuda

Answer 1

Dejemos que $\gamma:(-\epsilon,\epsilon)\to M$ sea una curva suave con $\gamma(0)=x$ y $\gamma'(0)=v$ (la existencia de tal $\gamma$ es la definición de lo que significa para $v$ para estar en $T_xM$ o al menos una definición de este tipo). Entonces por definición de la derivada, $$\lim_{t\to 0}\frac{\gamma(t)-x}{t}=v$$ lo que implica $$\lim_{t\to 0}\frac{|(x+tv)-\gamma(t)|}{t}=0.$$ Desde $\gamma(t)\in M$ , $|(x+tv)-\gamma(t)|\geq |(x+tv)-\pi_M(x+tv)|$ , lo que implica que su límite es $0$ también.