¿Es esta topología separable, primero contable, segundo contable?

Question

Considere un conjunto $E$ con algún punto $p \in E$ y la topología: $T = \left \{ \emptyset \right \}\cup \left \{ C \subset E: p \in E \right \}$ . ¿Es esta topología, separable, primero contable o segundo contable?

Creo que depende del tamaño de $E$ porque $|P(E)| = 2^{|E|}$ pero estoy luchando para averiguar cómo sería una base para esta topología que hace que sea difícil de responder a las preguntas sobre la contabilidad. Cualquier solución o sugerencia será apreciada.

Answer 1

Esto se conoce como el punto particular tpología . Puedes encontrar todo lo que necesitas en la página de la wikipedia. Por cierto $p$ es siempre denso por lo que $T$ es siempre separable, para cualquier $x$ el conjunto $\{x,p\}$ es una base local en $x$ Así que $T$ es primero contable. Como mencionas, la segunda contabilidad depende de la cardinalidad de $E$ .

Answer 2

Vale, todavía no estoy seguro de la contabilidad, pero el conjunto $\left \{ p \right \}$ es de hecho denso porque el único conjunto cerrado que contiene a $p$ es $E$ lo que significa que el cierre $\bar{\left \{ p \right \}}$ es la intersección de un solo conjunto $E$ lo que significa que el conjunto es denso y, como el conjunto es contable (de hecho, finito), el espacio es separable.