Suma de series

Question

Si la suma $$\sum_{n=0}^{2011} \frac{n+2}{n!+(n+1)!+(n+2)!}$$ puede escribirse como $$\frac{1}{2} - \frac{1}{a!}$$ encontrar los tres últimos dígitos de a.

He reducido la expresión dada a $$\frac{1}{(n+2)(n)!}$$ y creo que tendré que utilizar el método de las diferencias pero no sé cómo proceder. Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

$$\begin{align} \sum_{n=0}^{2011} \frac{n+2}{n!+(n+1)!+(n+2)!} &=\sum_{n=0}^{2011}\frac{1}{(n+2)(n)!} \\ &=\sum_{n=0}^{2011}\frac{n+1}{(n+2)!}\\ &=\sum_{n=0}^{2011}\frac 1{(n+1)!}-\frac 1{(n+2)!}\\ &=\sum_{n=0}^{2011}\frac 1{(n+1)!}-\sum_{n=1}^{2012}\frac 1{(n+1)!}\\ &=\frac 1{(0+1)!}-\frac 1{(2012+1)!}\\ &=1-\frac 1{2013!} \end{align}$$

Nota: si la suma se toma de $n=1$ en lugar de $n=0$ entonces el resultado es $$\frac 12-\frac 1{2013!}$$ que está en la forma requerida, con los tres últimos dígitos de $a$ ser $013$ .

Answer 2

Sugerencia : $$\frac1{(n+k)!}-\frac1{(n+k+1)!}=\frac{n+k}{(n+k+1)!}=\frac1{(n+k+1)(n+k-1)!}\ .$$