¿Cómo se puede interpretar (razonablemente) esta igualdad entre las divergencias $\zeta(1)$ y una división por $0$ ?

Question

La función eta de Dirichlet se define como sigue:

$$ \eta(s) = \left(1-2^{1-s}\right) \zeta(s). $$

Si se sustituye $s$ por $1$ en la fórmula anterior, obtenemos el aparente "absurdo":

$$ \zeta(1)=\frac{\eta(1)}{1-2^{0}}. $$

El lado izquierdo es divergente, mientras que el lado derecho es una división por $0$ .

¿Cómo se puede interpretar este resultado? ¿O este caso se trata de alguna manera diferente en la teoría de la función zeta?

Answer 1

Tomamos el límite como $s$ tiende a $1$ y utilizar el hecho de que la expansión de Laurent sobre $s = 1$ de $1 - 2^{1 - s}$ es \[1 - e^{-(s - 1)\log 2} = 1 - 1 + (\log 2) (s - 1) + O((s - 1)^2),\] mientras que para $\zeta(s)$ tenemos que \[\zeta(s) = \frac{1}{s - 1} + \gamma_0 + O((s - 1)),\] donde $\gamma_0$ es la constante de Euler-Mascheroni. Así que \N-[\Nlim_{s \Na 1} \eta(s) = \lim_{s \to 1} \left((\log 2) (s - 1) + O((s - 1)^2\right) \left(\frac{1}{s - 1} + \gamma_0 + O((s - 1))\a la derecha) = \log 2.\a]

En el lenguaje del análisis complejo, $s = 1$ es una singularidad removible de $\eta(s)$ : mientras $\eta(s)$ no se define inicialmente para $s = 1$ la función \[ \begin{cases} \eta(s) & \text{if $\Re(s) > 0$, $s \neq 1$} \\\ \log 2 & \text{if $s = 1$} \end{cases} \] es holomorfo en el semiplano abierto $\Re(s) > 0$ y está de acuerdo con $\eta(s)$ cuando $s \neq 1$ . Esto se llama la extensión holomórfica de $\eta(s)$ .