Dada una función infinitamente diferenciable $ g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ¿podemos encontrar siempre una función de distribución $f_X$ de alguna variable aleatoria $X$ para que $g(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx}f_X(x) dx$ ?
Si mi pregunta es demasiado vaga o está mal planteada, ¿alguien puede recomendar alguna bibliografía sobre la caracterización de las funciones generadoras de momentos?
No, hay algunas condiciones necesarias, no sé si hay una suficiente.
Si $g(t) = \mathbb E(e^{tX})$ debemos tener $g(0) = 1$ y $\lim_{t\to -\infty}g(t) = \mathbb P(X=0) \in [0,1]$ .
también tenemos $\mathbb E(X) = f'(0)$ y Var $(X) = f''(0) - f'(0)^2 >0$ . También tenemos por la desigualdad de Jensen
$$\begin{array}{rl}g(t) &=\mathbb E(e^{tX}) \\&\geq e^{t\mathbb E(X)} \\ &= e^{tf'(0)}\end{array}.$$
Así que hay un montón de afirmaciones probabilísticas que se pueden hacer y que deben ser satisfechas por cualquier cosa que sea una función generadora de probabilidad. Es bastante fácil encontrar contraejemplos.
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