Cómo reordenar una ecuación para los cálculos del IRMN

Question

Como ilustrado aquí Tengo la siguiente ecuación de RM (Resonancia Magnética Nuclear) que me gustaría reordenar para T1:

$$ S = k\times[H]\times{\frac{sin(\alpha)\times(1-\epsilon^{\frac{-TR}{T_1}})}{1-cos(\alpha)\times\epsilon^{\frac{-TR}{T_1}}}}\times\epsilon^{\frac{-TE}{T_2}} $$

Supongo que empezarías con:

$$ {\frac{S}{k\times[H]\times\epsilon^{\frac{-TE}{T_2}}}} = {\frac{sin(\alpha)\times(1-\epsilon^{\frac{-TR}{T_1}})}{1-cos(\alpha)\times\epsilon^{\frac{-TR}{T_1}}}} $$

Pero en este punto estoy atascado. Creo que hay algunas relaciones trigonométricas que puede utilizar aquí para obtener el ${\frac{-TE}{T_2}}$ término por sí mismo. ¿Quizás algún "truco" de Euler?

Se aceptan ediciones / sugerencias / migraciones / eliminaciones.

Answer 1

Suponiendo que se quiera reordenar para $T_1$ , teniendo en cuenta $$S = k\,[H]\,{\frac{\sin(\alpha)\,(1-\epsilon^{-\frac{TR}{T_1}})}{1-\cos(\alpha)\,\epsilon^{-\frac{TR}{T_1}}}}\,\epsilon^{-\frac{TE}{T_2}}\tag 1$$ cambiemos las notaciones $$s=\sin(\alpha)\qquad c=\cos(\alpha)\qquad x=\epsilon^{-\frac{TR}{T_1}}$$ que hace que $$S= k\,[H]\,{\frac{s\,(1-x)}{1-c\,x}}\,\epsilon^{-\frac{TE}{T_2}}\tag 2$$ Así que $$\frac {S \epsilon^{\frac{TE}{T_2}} }{k[H]s}=\frac{1-x}{1-cx}$$ Utilizando $$K=\frac {S \epsilon^{\frac{TE}{T_2}} }{k[H]s}\implies K=\frac{1-x}{1-cx}\implies x=\frac{K-1}{c K-1}$$

Así que $$T_1=-\text{TE}\,\frac{ \log (\epsilon )}{\log (x)}$$