Calcular el residuo de $f(z) = \frac {e^{-z}} {(z+2)^3} $

Question

Actualmente estoy estudiando métodos de resolución de integrales utilizando el Teorema del Residuo. Sin embargo, a veces tengo problemas para encontrar la forma de calcular los residuos. Por ejemplo, ¿qué hago cuando una función incluye la función exponencial (o cualquier otra función cuya serie de Taylor es comúnmente conocida)?

Después de un tiempo, he encontrado una solución que he añadido debajo de esta pregunta. En general, pensé que podría ser útil para otros cuando se trata de resolver integrales utilizando el teorema del residuo para las funciones que implican la función exponencial (o cualquier variante de la misma).

Mi problema inicial era:

¿Cómo puedo calcular el residuo de $f(z) = \frac {e^{-z}} {(z+2)^3} $ en $z = -2 ?$

Con la solución de este problema, pude entonces calcular la integral utilizando el teorema del residuo: $$ \int_{|z|=3} f(z) dz = ? $$

Answer 1

Como soy bastante nuevo en el cálculo de residuos, he tenido muchos problemas con éste. Después de un tiempo, he encontrado una solución muy buena que me gustaría compartir. Tenemos $$\begin{align} f(z) &= \frac {e^{-z}} {(z+2)^3} = \frac{1}{(z+2)^3} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-z)^k}{k!} \\ &= \frac{1}{(z+2)^3} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!}(z+2)^k e^2, \end{align}$$ desde $ \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!}(z+2)^k = e^{-z-2}. $ Así, obtenemos $$ f(z) = \frac{1}{(z+2)^3} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!}(z+2)^k e^2 = e^2 \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!}(z+2)^{k-3} $$ y el residuo sería $\frac{e^2}{2}.$

Answer 2

Es una solución justa. Aparte de eso, también se podría calcular el residuo de la siguiente manera: Tenemos \begin{align} \operatorname{Res}_{-2}f = \frac{1}{(3-1)!}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}z^2}\left((z+2)^3\cdot f(z)\right)\bigg|_{z = -2}, \end{align} ya que tenemos un polo de orden $3$ en $z = -2$ . Debido a \begin{align} \frac{1}{(3-1)!}\cdot\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}z^2}\left((z+2)^3\cdot f(z)\right) = \frac{1}{2!}\cdot\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}z^2} e^{-z} = \frac{e^{-z}}{2}, \end{align} encontramos \begin{align} \boxed{\operatorname{Res}_{-2}f = \frac{e^{2}}{2}.} \end{align}

Editar:

Aquí he utilizado la fórmula general

\begin{align} c_{-1} = \operatorname{Res}_af = \frac{1}{(k-1)!}\cdot \frac{\mathrm{d}^{k-1}}{\mathrm{d}z^{k-1}}\left((z-a)^k\cdot f(z) \right) \bigg|_{z=a}, \end{align} si $a$ es un polo de orden $k$ de $f$ . Lo que hace esta fórmula es básicamente extraer el coeficiente $c_{-1}$ de la serie de Laurent que por definición es su residuo.