Cramer-Rao y los estimadores eficientes

Question

Dejemos que $X_1,X_2,X_3,...,X_n$ sea una muestra aleatoria de la distribución exponencial que tenga la PDF $f(x;\lambda)= \frac{1}{\lambda}e^\frac{-x}{\lambda}\chi\{x>0\}.$

A) Encuentre el límite inferior de Cramer-Rao para la varianza de los estimadores insesgados para $\theta = \lambda^2$ ,

B)Determinar k para que $W=k\sum\limits_{i=1}^n X^2_i$ es imparcial para $\theta$ . ¿Es W un estimador eficiente para $\theta?$ (Recordemos: $E(X^2_i)= 2\lambda^2$ y $E(X^4_i)=24\lambda^4.)$

Este es un problema de tarea, Los apuntes en clase y el libro sólo cubren C.R.L.B para $f_Y(x;\lambda)$ y comparándolo con la varianza de un estimador dado que entiendo. Sin embargo, no veo la conexión para usarlo en la varianza de los estimadores insesgados. ¿Es sólo una terminología diferente para la misma cosa o qué es lo que me estoy perdiendo? ¿Puede alguien ayudarme a empezar en la dirección correcta?

Todas las fuentes en línea parecen hacer referencia a la información de Fisher, aún no han cubierto a Fisher.

Answer 1

Definir $$ I(\lambda)\equiv E\left(\left[\frac{\partial\log l(\boldsymbol{X};\lambda)}{\partial\lambda}\right]^2\right) $$ donde $l(\boldsymbol{X};\lambda)$ denota el conjunta la probabilidad: $$ l(\boldsymbol{X};\lambda)=\prod_i\frac{1}{\lambda}\exp(-X_i/\lambda)=\frac{1}{\lambda^n}\exp\left(-\sum_iX_i/\lambda\right)\implies\log l(\boldsymbol{X};\lambda)=-\frac{S_n}{\lambda}-n\log(\lambda). $$ Aquí $S_n\equiv\sum_iX_i$ . Con esto, puedes calcular: $$ \left[\frac{\partial\log l(\boldsymbol{X};\lambda)}{\partial\lambda}\right]^2=\left(\frac{S_n}{\lambda^2}-\frac{n}{\lambda}\right)^2=\frac{1}{\lambda^4}(S_n^2-2\lambda n S_n+\lambda^2n^2). $$ Debido al muestreo independiente, $$ E\left[\left(\sum_iX_i\right)^2\right]=n E(X_i^2)+(n^2-n)E(X_i)^2=n(2\lambda^2)+(n^2-n)\lambda^2=(n^2+n)\lambda^2,\\ E\left(\sum_iX_i\right)=n E(X_i)=n\lambda. $$ De ello se desprende que $$ E\left(\left[\frac{\partial\log l(\boldsymbol{X};\lambda)}{\partial\lambda}\right]^2\right)=\frac{1}{\lambda^2}(n^2+n-2n^2+n^2)=\frac{n}{\lambda^2}\cdot $$ Este $I$ que hemos calculado se llama Información sobre Fisher para $\lambda$ para la probabilidad conjunta $l(\boldsymbol{x};\lambda)$ . Ahora el Límite inferior de Cramer-Rao (también conocido como el límite inferior de Frechet-Darmois-Cramer-Rao) para estimar $g(\lambda)=\lambda^2$ está dada por: $$ \frac{[g'(\lambda)]^2}{I(\lambda)}=\boxed{\frac{4\lambda^4}{n}}. $$ Esto completa (a) . Para (b) , tenga en cuenta que $E(X_i^2)=2\lambda^2$ así que $k=\frac{1}{2n}$ hace $W=k\sum_iX_i^2$ imparcial para $\theta=\lambda^2$ . Calculamos: $$ E(W^2)=k^2E\left[\left(\sum_iX_i^2\right)^2\right]=k^2(nE[X_i^4]+(n^2-n)E(X_i^2)^2)=\lambda^4\left(1+\frac{5}{n}\right)\cdot $$ Esto implica $$ \text{Var}(W)=E(W^2)-E(W)^2=\frac{5\lambda^4}{n}>\frac{4\lambda^4}{n}. $$ La última desigualdad significa $W$ es ineficiente para $\lambda^2$ .

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Simplificaciones :

• (a) La información de Fisher para $\lambda$ para la probabilidad conjunta es $n$ veces la información de Fisher para $\lambda$ para la probabilidad individual. Esta última es más fácil de calcular.
• (b) De hecho, un resultado general implica que sólo transformaciones afines de $\lambda$ puede estimarse eficazmente . Porque $\lambda\mapsto\lambda^2$ no es afín, se puede concluir sin ningún cálculo que $W$ con $k=1/(2n)$ es insesgada pero ineficiente para $\lambda^2$ .