Completitud y cerrazón para un subconjunto en un espacio métrico

Question

En el artículo sobre espacio métrico en la wikipedia:

Si $X$ es un subconjunto completo del espacio métrico $M$ entonces $X$ está cerrado en $M$ . En efecto, un espacio es completo si es cerrado en cualquier espacio métrico que lo contenga.

Las segundas frases dicen eso:

En un espacio métrico, un subconjunto es completo si y sólo si el subconjunto es cerrado en el espacio métrico.

Si no es así, ¿cuál es la relación entre completitud y cerrazón para un subconjunto en un espacio métrico?

Gracias y saludos.

Answer 1

No; si ese fuera el caso, entonces $\mathbb{Q}$ sería completa, ya que está cerrada en sí misma.

Lo que dice la segunda frase es:

Dejemos que $X$ sea un espacio métrico. Entonces $X$ es completa si y sólo si para cada espacio métrico $M$ , si $X$ está contenida en $M$ entonces $X$ está cerrado en $M$ .

En particular, si usted tiene un completo fijo $X$ y un espacio métrico fijo $M$ que contiene $X$ entonces se puede concluir que $X$ está cerrado en $M$ (la primera frase).

Answer 2

Aviso: Un subconjunto es completo si es cerrado en cualquier espacio métrico en el que es un subespacio.

Un subespacio cerrado de un espacio métrico completo es completo. Por otro lado, un subespacio cerrado de un espacio métrico no tiene por qué ser completo. Tomemos el espacio $(0,1)$ que está cerrado en sí mismo. Pero no es completo. Por lo tanto, lo cerrado no es suficiente para ser completo.

Sin embargo, un espacio métrico compacto es siempre completo. La compacidad es la propiedad correcta.

Para esto y más, pruebe con G. F. Simmons, "Introduction to Topology and Modern Analysis".