demostrar que $f(x)=c\log x $ para algunos $c$

Question

Déjalo, $f$ : $\mathbb{R^+}$$ \N - Flecha derecha $$\mathbb{R}$ sea una función continua que satisfaga $f(xy)=f(x)+f(y)$ . Demuestra que, $f(x)=c\log x$ para algunos $c>0$ .

Answer 1

Es evidente que la función (continua) $\theta:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R},\ \theta(x)=0$ satisface la ecuación funcional $$\tag{*} f(xy)=f(x)+f(y). $$ Dejemos que $f \not\equiv \theta$ sea una solución de (*). Entonces tenemos $$ f(1)=f(1)+f(1), $$ es decir $$\tag{1} f(1)=0 $$ Por inducción tenemos $$\tag{2} f(x^n)=nf(x) \quad \forall x \in \mathbb{R}^+,\, n \in \mathbb{N}. $$ Gracias a (1), tenemos $$\tag{3} f(x^{-1})=f(x^{-1})+f(x)-f(x)=f(x^{-1}x)-f(x)=f(1)-f(x)=-f(x)\quad \forall x \in \mathbb{R}^+. $$ Combinando (2) y (3), deducimos que $$\tag{4} f(x^n)=nf(x) \quad \forall x \in \mathbb{R}^+,\, n \in \mathbb{Z}. $$ Gracias a (4), tenemos $$ f(x^{1/n})=\frac1nf((x^{1/n})^n)=\frac1nf(x) \quad \forall x \in \mathbb{R}^+,\, n \in \mathbb{N}. $$ Así, $$ f(x^{m/n})=\frac{m}{n}f(x)\quad \forall x \in \mathbb{R}^+,\,m\in \mathbb{Z},\, n\in \mathbb{N}, $$ En otras palabras, tenemos $$ f(x^q)=qf(x)\quad \forall x \in \mathbb{R}^+,\,q\in \mathbb{Q}. $$ Desde $f$ es continua, y $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$ se deduce que $$ f(x^\alpha)=\alpha f(x)\quad \forall x \in \mathbb{R}^+,\,\alpha\in \mathbb{R}. $$ Desde $f\not\equiv\theta$ Hay un poco de $z \in \mathbb{R}^+\setminus\{1\}$ tal que $f(z)\ne 0$ . W.l.o.g. asumir $1<z<e$ y $f(z)>0$ (en caso contrario, sustituimos $z$ por $z^{-1}$ ). Sea $s=\frac{1}{\ln z} \in \mathbb{R}^+$ . Entonces, $z^s=e$ y para cada $x \in \mathbb{R}^+$ tenemos $$ f(x)=f(e^{\ln x})=f(e)\ln x=f(z^s)\ln x=sf(z)\ln x=c\ln x, $$ donde $c=s\ln z$ .

Nota: : Es evidente que la constante $c$ no tiene por qué ser positivo.

Answer 2

En primer lugar, demuestre que $f\left(x^{\frac{m}{n}}\right) = \frac{m}{n}f(x)$ para cualquier número racional $\frac{m}{n}$ . A continuación, utilice la continuidad para obtener $f(x^\alpha) = \alpha f(x)$ para todos $\alpha \in \mathbb R$ .

Ahora bien, tenga en cuenta que $f(1) = 0$ . Supongamos que $f(k) = 0$ para algunos $k > 1$ . Entonces, para todos los $x$ tenemos $f(x) = f(k^\alpha) = \alpha f(k) = 0$ para algunos $\alpha$ . Por lo tanto, $f(x) = c\log(x)$ con una constante $c = 0$ .

Por otra parte, supongamos, sin pérdida de generalidad, que $f(k) > 0$ para algunos $k > 1$ (si $f(k) < 0$ entonces considere la función $-f$ para lo siguiente). A continuación, hay un poco de $\alpha > 0$ para que $f(k^\alpha) = \alpha f(k) = 1$ . Sea $b = k^\alpha$ .

Entonces, para cualquier $x$ tenemos $x = b^\alpha$ donde $\alpha = \frac{\log(x)}{\log(b)}$ . Así que $f(x) = f(b^\alpha) = \alpha f(b) = \alpha = \frac{\log(x)}{\log(b)}$ . Por lo tanto, $f(x) = c\log(x)$ con la constante $c = \frac{1}{\log(b)}$ .