La prueba de $\frac{d}{dx}e^x = e^x$

Question

Estoy trabajando a través de la prueba de $\frac{d}{dx}e^x = e^x$, e intentar entenderlo, pero mi mente se ha quedado atascado en el último paso.

A partir de la definición de un derivado, podemos formularlo así:

$$\frac{d}{dx} e^x = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h}$$

Después de algunos álgebra, llegamos a:

$$\frac{d}{dx} e^x = e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h-1}{h}$$

Como $h\to0$, la expresión de los enfoques $\frac{0}{0}$, lo que hace que sea indeterminado. Y, aquí es donde mi entendimiento extremos. He intentado buscar en la wikipedia y otras descripciones de la prueba, pero no podía entender las explicaciones. Por lo general ha sido algo a lo largo de las líneas de, "complot $\frac{e^x - 1}{x}$ y ver la función del comportamiento en $0$," lo cual termina acercándose a $1$, que puede sustituir el límite para dar el resultado de la derivada:

$$\frac{d}{dx} e^x = e^x \cdot 1 = e^x$$

Yo vagamente comprender el concepto indeterminado de formas, y por ello, es difícil saber qué está pasando con la función. Pero hay una mejor explicación de cómo el resultado de $1$ se obtiene?

Answer 1

Todo en la "prueba" dependerá de la definición de la función $e^x$. Voy a elegir la definición $$ e^h \desbordado{\text{def}}{=} \sum_{k=0}^\infty \frac{h^k}{k!}. $$ El uso de este, uno ve que $$ \frac{e^h - 1}{h} = \frac{\sum_{k=0}^\infty \frac{h^k}{k!} - 1}{h} = \sum_{k=1}^\infty \frac{h^{k-1}}{k!} = 1 + h \sum_{k=0}^\infty \frac{h^k}{(k+2)!}. $$ Si usted ha estudiado la convergencia de las pruebas, usted sabe que la última serie de la derecha converge para todos los $h \in \mathbb R$, por lo tanto tomando el límite cuando $h \to 0$, la RHS va a $1$ debido a que la serie converge a algo y el $h$ deja fuera hará que el producto vaya a cero.

Otra manera de hacer esto sería mostrar que esta serie es una analítica de la función y es su propia expansión de Taylor alrededor de cero (esto no es difícil de hacer a través de la convergencia de pruebas), por lo que para diferenciarlos se puede ir término por término y ver fácilmente que su derivada es la misma.

Un tercer enfoque, que va a sonar un poco estúpido y sin sentido, pero de todos modos es divertido, es la elección de otra definición de $e^x$ : considere la ecuación diferencial $$ f'(x) = f(x), \quad f(0) = 1. $$ El uso de la ecuación diferencial de la teoría de que en realidad no es difícil en absoluto para demostrar que las soluciones a la ecuación (sin la condición inicial) es un one-dimensional espacio vectorial y existe un único elemento de este vector en el espacio que satisface la condición inicial $f(0) = 1$, debido a que las soluciones son de la forma $Cg(x)$ para algunos la solución de $g(x)$. Deje $exp(x)$ se define como una solución a esta ecuación diferencial que satisface la condición inicial. Entonces claramente $exp'(x) = exp(x)$. A continuación, puede ver fácilmente que $exp'(x)$ es una función derivable, entonces por inducción $exp(x)$ es infinitamente derivable la función con la expansión de Taylor $$ \exp(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}. $$ Se lo mencioné a mostrar la importancia de la definición que uno se decide a elegir ; puede cambiar toda la estructura de un argumento.

Espero que ayude,

Answer 2

Suponga que tiene una función exponencial, como $f(x)=2^x$.

La derivada es $$ f'(x) = \lim_{h\to0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to0}\frac{2^{x+h}-2^x}{h} = \lim_{h\to0}\left(2^x\cdot\frac{2^h-1}{h} \right). $$ Hasta el momento, sólo el álgebra. Ahora vean esto: $$ = 2^x\lim_{h\to0}\frac{2^h-1}{h}. $$ Esto se puede hacer debido a que $2^x$ es "constante" y "constante" significa "no dependiendo de la $h$".

Pero esto es igual a $(2^x\cdot\text{constant})$. Pero en este caso "constante" significa "no dependiendo de la $x$". "Constante" siempre significa "no dependiendo de algo", pero "algo" varía con el contexto.

¿Cuál es la "constante"? En el caso anterior, no es difícil demostrar que la constante es en algún lugar entre el$1/2$$1$. Se nos había comenzado con $4^x$ en lugar de eso, entonces sería bastante fácil mostrar que la "constante" sería de más de $1$. Para una base en algún lugar entre el$2$$4$, la "constante" es $1$. Esa base es $e$.

Si usted quiere hablar acerca de cómo es knonw que $2$ es demasiado pequeño y $4$ es demasiado grande, al ser la base de la "naturales" de la función exponencial (es decir, el uno para el cual la "constante" es $1$), puedo publicar más sobre esto.

Más tarde edit: OK, ¿cómo sabemos que $2$ es demasiado pequeño y $4$ es demasiado grande, para servir en el papel de la base de la "naturales" de la función exponencial? Mira el gráfico de $y=2^x$. Se hace más empinada a medida que vaya de izquierda a derecha. Como $x$ $0$ a $1$, $y$ va de $1$$2$. Por lo que la pendiente media entre el $x=1$ $x=2$ es $$\dfrac{\text{rise}}{\text{run}} = \frac{2-1}{1-0} = 1.$$ Dado que se hace más pronunciada que va de izquierda a derecha, la pendiente en el extremo izquierdo de este intervalo, es decir, en $x=0$, debe ser menos que eso. Así tenemos a $\dfrac{d}{dx}2^x = (2^x\cdot\text{constant})$ y la "constante" es menos de $1$. (Pensar en el intervalo de $x=-1$ $x=0$en la misma forma en que muestra que la "constante" es más que $1/2$.)

Ahora mira a $y=4^x$, y utilizar el intervalo de$x=-1/2$$x=0$, y hacer la misma cosa, y ver que cuando escribes $\dfrac{d}{dx}4^x = (4^x\cdot\text{constant})$, luego de que "constante" es más que $1$.

Esto debe sugieren que $4$ es demasiado grande, y $2$ es demasiado pequeño.

Se puede demostrar que los $3$ es demasiado grande utilizando el intervalo de $x=-1/6$ $x=0$y haciendo la misma cosa. Pero la aritmética es desordenado.

Answer 3

Apostol del enfoque en su Cálculo de texto es definir el logaritmo natural por $$\log x=\int_1^xt^{-1}\,dt$$ from which you immediately get that the derivative of $\log x$ is $1/x$. Then Apostol defines the exponential function as the functional inverse of the logarithm. So if $, y=e^x$, then $x=\log y$; now differentiate with respect to $x$, using the chain rule, to get $$1={1\over y}{dy\over dx}$$ So, ${dy\más de dx}=y=e^x$, como se desee.

Answer 4

Tenga en cuenta que aunque la expresión $\lim_{h\to 0}{e^h-1 \over h}$ es indeterminado, puede volver a escribir como $$\lim_{h\to 0}{e^h-1\over h} = \lim_{h\to 0}{f(h)-f(0)\over h} = f'(0)$$ donde $f(x)=e^x$, y donde hemos utilizado la definición de $f'(0)$. Lo mismo se puede hacer con cualquier otra base; si $g(x)=a^x$, entonces el mismo cálculo que han dado muestra de que $$g'(x)=a^x\lim_{h\to 0}{a^h-1\over h}=a^x\lim_{h\to 0}{g(h)-g(0)\over h}=a^x\cdot g'(0)$$ Así es la pendiente en el origen, que aparece aquí. La fórmula para $g'(x)$ es más simple cuando la pendiente en el origen es igual a $1$, y esta es una de las muchas formas posibles de definir $e$.