Compactación secuencial en $\mathbb{R}$

Question

Resultado bien conocido:
Supongamos que $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es continua y deja que $K$ sea un conjunto compacto. Entonces, $f(K)$ es compacto.

Puedo demostrar esto usando la definición de compacidad (encontrar una subcubierta finita), pero estaba tratando de ver si funcionaría usando la compacidad secuencial ya que las dos son equivalentes en $\mathbb{R}$ . Si funciona, la prueba sería algo así:

Dejemos que $\{y_n\}$ sea una secuencia en $f(K)$ . Entonces $\{x_n\}$ definido por $x_n:= f^{-1}(y_n)$ es una secuencia en $K$ .

Desde $K$ es compacto, es secuencialmente compacto. Entonces, hay una subsecuencia $\{x_{n_j}\} = \{f^{-1}(y_{n_j})\}$ con $f^{-1}(y_{n_j}) \to x \in K$ como $j \to \infty$ .

Desde $f$ es continua, tenemos que $f(x_{n_j})=y_{n_j} \to f(x) \in f(K)$ .

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Siento que podría haber un problema aquí porque no sabemos $f$ es uno a uno. ¿Qué opinas?

Answer 1

Es mejor escribir ; para $n\in \mathbb{N}$ , ( $y_n\in f(K)$ ) existe $x_n\in K$ tal que $y_n=f(x_n)$ para evitar $f^{-1}$ ...

Answer 2

Dejemos que $ y_n = f(x_n)$ sea una secuencia en $f(K)$ . Entonces tenemos una secuencia $(x_n)$ en $K$ . Desde $K$ es compacto, existe una subsecuencia $(x_{n_k})$ de $(x_n)$ tal que $$\lim_{k \to \infty} x_{n_k} = x \in K.$$ Pero esto significa que $(y_n)$ tiene una subsecuencia $y_{n_k} = f(x_{n_k})$ tal que $$\lim_{k \to \infty} y_{n_k} = \lim_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = f \left( \lim_{k\to \infty} x_{n_k} \right) = f(x) = y \in f(K).$$ Dado que tomamos una secuencia arbitraria en $f(K)$ y demostró que tiene una subsecuencia que converge en $f(K)$ hemos demostrado que $f(K)$ es compacto.

Answer 3

Esta es una prueba correcta. Se basa en el hecho de que $f(f^{-1}(y_{n_j}))=y_{n_j}$ lo cual es cierto ya que $f$ es una función. El hecho de que sea uno a uno garantiza que $f^{-1}(f(y))=y$ pero eso no es necesario aquí.