Demostrar que una función es sobreyectiva si tiene una inversa directa utilizando el teorema del buen orden

Question

Como se menciona en el título debo demostrar que una función $f\colon X\to Y$ es suryente si y sólo si existe una función $g\colon Y\to X$ tal que $f\circ g=id_Y$ utilizando el Teorema de la ordenación del pozo (es decir, que todo conjunto puede estar bien ordenado).

Por supuesto, el enunciado es bien conocido y no es tan difícil de demostrar, pero no sé cómo utilizar el Teorema del pozo para la demostración.

Answer 1

Por el principio de buen orden, $X$ puede estar bien ordenado.

" $\Rightarrow$ " Por cada $y\in Y$ Considera que $f^{-1}(y)\subset X$ que es un subconjunto no vacío, porque $f$ es sobreyectiva. Usando el orden de los pozos tiene un elemento mínimo $x_y$ . Ahora, defina $g(y):=x_y$ . Entonces $f(g(y))=f(x_y)=y$ Así que $f\circ g=id_Y$ .

" $\Leftarrow$ " $id_Y$ es suryente, por lo que $f\circ g$ es suryente, por lo que $f$ debe ser sobreyectiva. Aquí no es necesario el principio de ordenación de pozos.