4ª ecuación cinemática para una aceleración constante

Question

Me han dado las 4 ecuaciones cinemáticas para una aceleración constante. Siendo la cuarta:

$$s=ut+\frac{1}{2}at^2.$$

Si se reordena forma la ecuación cuadrática

$$at^2+2ut-2s=0.$$

Pero eso significa que $t$ tiene 2 valores.

1. ¿Uno de ellos será siempre negativo? Entonces, ¿sólo es posible un valor de forma realista?

2. Y cómo podrías reorganizarlo para conseguir $t$ por sí mismo? ¿Sería utilizando la fórmula cuadrática?

Answer 1

La ecuación describe el movimiento parabólico, si $a\neq 0$ es una aceleración constante no nula, que asumiré a partir de ahora. Si lo piensas, tu solución proporciona una respuesta a la pregunta: ¿en qué momento el objeto está en la posición $s$ ? [Nota sobre la notación: Tradicionalmente, la letra $s$ denota la distancia (supongo que de la palabra alemana "Strecke"), que por definición es una cantidad no negativa, pero su fórmula tiene más sentido, si interpretamos $s$ como posición $x$ que también puede ser negativo].

$$\frac{1}{2}at^2+ut-x=0$$

$$t_1 = \frac{-u-\sqrt{D}}{a}$$

$$t_2 = \frac{-u+\sqrt{D}}{a}$$

donde $D := u^2+2ax$ . Pensemos en ello por un momento, y veamos qué respuestas obtenemos variando $x$ .

Caso $D<0$ :

El discriminante es negativo, no hay soluciones, por lo tanto en ningún momento su objeto tendrá esa posición.

Caso $D=0 \Leftrightarrow x=-\frac{u^2}{2a}$ :

El discriminante es cero, sólo hay una solución que es el punto "superior" ("inferior") alcanzado por el objeto,si $a<0$ ( $a>0$ ), respectivamente.

Caso $D>0$ :

El discriminante es positivo y hay dos soluciones. Esto significa que el objeto llegará a esa posición dos veces, una subiendo y otra bajando la parábola.

Ahora bien, ¿uno de ellos será siempre negativo? No necesariamente.

Caso $ax > 0$ : Uno positivo y otro negativo.

Caso $ax < 0$ y $\frac{u}{a}>0$ : Dos negativos.

Caso $ax < 0$ y $\frac{u}{a}<0$ : Dos positivos.

Caso $x = 0$ y $\frac{u}{a}>0$ : Un cero y un negativo.

Caso $x = 0$ y $\frac{u}{a}<0$ : Un cero y un positivo.

Answer 2

Tiene razón en cuanto a la forma de resolver t es una ecuación cuadrática de la forma $at^2 + bt + c = 0$ , por lo que la solución es $$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

En cuanto a su primera pregunta, resolviendo para t significa que está buscando el momento exacto en el que la posición del objeto es s . La velocidad en el momento $t=0$ es u pero la aceleración a es constante, lo que significa que antes de tiempo $t=0$ la velocidad era menos que u y estaba acelerando hasta u . Si se mira lo suficientemente lejos en el pasado, la velocidad debe haber sido negativa, por lo que el objeto habría pasado por el punto s en algún momento. Por lo tanto, ambas soluciones son válidas.

Sin embargo, cuando planteamos un problema como éste, suele estar implícito que sólo nos interesa lo que ocurre a partir de $t=0$ A menos que mencionemos específicamente lo contrario. Así que, por lo general, puedes ignorar la solución negativa.

Answer 3

I tomamos la velocidad inicial como cero ( $u=0$ ) entonces tenemos $s=1/2at^2$ de la que una solución trivial proporciona dos desplazamientos $s_1$ y $s_2$ dependiendo de si tomamos la raíz positiva o negativa.

Dibujar un gráfico de $s - v t^2$ da una parábola y nuestras dos soluciones aparecen en algún lugar de esta curva. Aquí es donde tenemos que separar la explicación matemática de la explicación física. Matemáticamente ambas son válidas y parece que nuestra ecuación es muy útil, pero físicamente podemos elegir preferir una solución a la otra.

En este caso, tomaría la raíz positiva, ya que describe la posición en algún momento positivo, mientras que la raíz negativa da la posición en algún momento negativo. Tomar el tiempo como positivo y avanzar no siempre es correcto, pero puede ayudar a diferenciar entre respuestas matemáticamente equivalentes.

Answer 4

Cuando se lanza una pelota al aire, hay dos momentos en los que tendrá una altura determinada $s$ . Una vez subiendo y otra bajando. Eso es lo que representan los dos tiempos.

Ambos son válidos.