Estoy tratando de encontrar números $a\leq b$ que maximizan el valor de la integral $\int_a^ba-x-x^2dx$ . Intenté calcular la integral y obtuve la función en dos variables $$f(a,b)=\int_a^ba-x-x^2dx=ab-\frac{b^2}2-\frac{b^3}3-\frac{a^2}2+\frac{a^3}3$$ Entonces apliqué el cálculo multivariante y obtuve que el único punto crítico que satisface $a\leq b$ es $(0,0)$ . Pero no puedo clasificar ese punto ya que el determinante de las segundas derivadas parciales es cero, así que si va a ser un máximo tengo que demostrar que si $a\leq b$ son números que no son ambos cero, entonces la integral es negativa. ¿Es correcto este argumento? Si lo es, ¿cómo demuestro que es un número negativo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Tenemos que $$ab - \frac{b^2}{2} - \frac{b^3}{3} - \frac{a^2}{2} + \frac{a^3}{3} \leq 0 \iff ab + \frac{a^3}{3} \leq \frac{a^2}{2} + \frac{b^2}{2} + \frac{b^3}{3} \ \ \ \ \ \ \ (I)$$
Para demostrar que esta desigualdad es válida, hay que tener en cuenta que $$0 \leq \left( \frac{a}{\sqrt{2}} - \frac{b}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{a^2}{2} - ab + \frac{b^2}{2},$$ lo que equivale a $$ab \leq \frac{a^2}{2} + \frac{b^2}{2}.$$
De ello se desprende que $$ab + \frac{a^3}{3} \leq \frac{a^2}{2} + \frac{b^2}{2} + \frac{a^3}{3} \leq \frac{a^2}{2} + \frac{b^2}{2} + \frac{b^3}{3}.$$
Utilizando el hecho de que $\frac{a^3}{3} \leq \frac{b^3}{3}$ . Esto demuestra la desigualdad $(I)$ .
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No está claro por qué piensa en su integral como una función de $x$ o $y$ ya que se integra sobre $x$ y nada depende de $y$ en tu expresión.
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@ZeroTheHero cierto, es un error tipográfico, debería ser f(a,b) ya que quiero que mis variables sean a y b.
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Sólo un detalle: es bueno poner entre paréntesis el integrando con
\left(
y\right)
.