¿Qué elementos están contenidos en un espacio producto infinito?

Question

Tengo una pregunta sobre el tratamiento formal de las medidas del producto infinito en el cálculo de la probabilidad. Tomemos por ejemplo el modelo de un lanzamiento infinito de una moneda. Si $(\Omega_i,\mathcal A_i,P_i)$ es el espacio de probabilidad de un solo lanzamiento de moneda (es decir $\Omega_i = \{0,1\}$ ), el espacio muestral de un lanzamiento de moneda infinito viene dado por el producto cartesiano infinito

$\Omega = \Omega_1\times\Omega_1\times\ldots = \{0,1\}^\mathbb N$ .

Ahora, mi libro de texto dice que el $\sigma$ -de ese espacio producto está dada por la menor $\sigma$ -que contiene todos los conjuntos cilíndricos, es decir, todos los conjuntos de la forma

$A = B_1 \times B_2 \times B_3 \ldots$

donde $B_i \in \mathcal A_i$ para un número finito de $i$ y $B_i = \Omega_i$ de lo contrario.

Ahora mi pregunta es: ¿Esto es $\sigma$ -también contienen eventos en los que se especifica explícitamente un número infinito de resultados, por ejemplo el evento en el que TODAS las monedas muestran "Cabeza" ( $\omega = (1,1,...)$ con infinitos 1's). ¿O sólo contiene sucesos en los que sólo se especifica un número finito de resultados?

Answer 1

Dejemos que $a$ sea alguna secuencia y que $A_n=\prod_{j=1}^n \{a_j\}\times \prod_{k=n+1}^{\infty} \{0,1\}.$ Entonces, claramente, cada $A_n$ es un cilindro. Además, $\cap_{n=1}^{\infty} A_n=\{a\},$ así que sí, los solteros son medible.

Naturalmente, esto se generaliza a la afirmación de que $\prod_{j=1}^{\infty}A_j$ es un elemento medible del producto infinito si cada $A_j$ es medible (de un producto infinito arbitrario, no sólo del espacio de lanzamiento de monedas).