Necesito resolver este problema para mi clase de cálculo vectorial
Dejemos que $\mathbf{F}=\frac{-y}{x^2+y^2}\mathbf{i}+\frac{x}{x^2+y^2}\mathbf{j}$ , demuestran que $\mathbf{F}$ es un campo vectorial conservativo en $\Omega_{1}=\{-\infty<x<\infty,y>0\}\subset\mathbb{R}^2$ pero no es un campo vectorial conservativo en $\Omega_{2}=\{0<x^2+y^2<4\}\subset\mathbb{R}^2$ .
MI RESPUESTA
Para responder a esta pregunta, he utilizado el hecho de que un campo vectorial es conservativo si $\text{ }\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}=0$ .
Así que pensé en conseguir algo que hiciera que el campo vectorial fuera conservador cuando $y>0$ .
Pero esto es lo que consigo: $$\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{-y}{x^2+y^2}\right)&=&\frac{1}{x^2+y^2}-\frac{2x^2}{(x^2+y^2)^2}-\left(\frac{2y^2}{(x^2+y^2)^2}-\frac{1}{x^2+y^2}\right)\\ &=&\frac{2}{x^2+y^2}-\frac{2x^2}{(x^2+y^2)^2}-\frac{2y^2}{(x^2+y^2)^2}\\ &=&\frac{2(x^2+y^2)-2x^2-2y^2}{(x^2+y^2)^2}\\ &=&\frac{2x^2+2y^2-2x^2-2y^2}{(x^2+y^2)^2}=0 \end{eqnarray}$$
Por lo tanto, según lo que acabo de encontrar, no importa el valor de $x$ y $y$ es, el campo vectorial siempre será conservador. Pero se supone que debo demostrar que no lo es cuando $0<x^2+y^2<4$ . ¿En qué me he equivocado?
Gracias de antemano por sus respuestas.
