Notación para la dimensión del espacio vectorial y uso de $\times$ operador

Question

Me gustaría describir un espacio vectorial real de dimensión $a \times b$ (como en $a$ veces $b$ ). ¿Es correcto describirlo con $$ \mathbb R^{a \times b},$$ o implicaría el espacio de matrices de dimensión $a$ por $b$ ? ¿Qué pasa con $$ \mathbb R^{a \cdot b} \,?$$

El $\times$ -signo se lee mejor pero no estoy del todo seguro de que se use correctamente. Gracias por su ayuda.

Editar: Para aclarar, lo que estoy buscando es el caso $$ \mathbb R^{3 \times 2} = \mathbb R^{6} $$

Answer 1

Comience por observar que, dado $a,b\in \mathbb N$ existen espacios vectoriales de dimensión $a\times b$ diferente de $\mathbb R^{a\times b}$ . Así que al limitarse a $\mathbb R$ , ya estás cometiendo un abuso de la notación.

En cuanto al símbolo $\mathbb R^{a\times b}$ denota $\{(x_1, \ldots ,x_{a\times b})\colon x_1, \ldots ,x_{a\times b}\in \mathbb R\}$ . No es un conjunto de matrices (no en el sentido que tú quieres decir).

En cuanto a $\mathbb R^{a\cdot b}$ es lo mismo que lo anterior, sólo que se utiliza $\cdot$ en lugar de $\times$ para denotar la multiplicación habitual.

Dicho todo esto, "no importa" si eliges $\mathbb R^{a\times b}, \mathbb R^{a\cdot b}, \mathcal M _{a\times b}(\mathbb R)$ o cualquier otro espacio vectorial de dimensión $a\times b$ en $\mathbb R$ porque dos espacios vectoriales cualesquiera sobre un campo $\mathbb F$ que tienen la misma dimensión son isomorfas .

Answer 2

He empezado a tener la opinión de que la notación matemática nunca es realmente formal a menos que lo escribas utilizando la lógica de primer orden, lo cual no es algo que debas desear. Mientras no estés haciendo teoría de conjuntos axiomática, preguntando qué objetos matemáticos realmente son es innecesario y tiene una respuesta realmente tediosa.

Toma $\mathbb R^n$ por ejemplo. ¿Qué significa eso? En la teoría de conjuntos, solemos definir $(x,y) = \{\{x\},\{x,y\}\}$ y $X\times Y = \{(x,y)\mid x\in X,y\in Y\}$ . Así que $X^2 = X\times X$ por la construcción. Pero ¿qué pasa con $X^3$ ? Podemos elegir entre $X\times(X\times X)$ o $(X\times X)\times X$ y para valores mayores de $n$ Hay muchas opciones de definición de $X^n$ . Es imposible hacer una definición que nos permita tener $X^m\times X^n = X^{m+n}$ (al menos nunca he visto uno que no incluya una ambigüedad similar).

De un punto confuso a otro: ¿Cómo definimos el conjunto de $m\times n$ matrices sobre $\mathbb R$ ? Podemos definirlos como $(\mathbb R^m)^n$ pero nos encontramos con los mismos problemas que antes. Como alternativa, podemos definirlos como los mapas de $\{1,2,\ldots, m\}\times\{1,2,\ldots,n\}\to\mathbb R$ pero entonces todavía tenemos que hacer identificaciones, concretamente de $\mathbb R^n$ con el $n\times 1$ -matrices.

¿Cómo resolver esto? Para hacer la vida más fácil, nosotros identificar todas estas definiciones para que no tengamos que preocuparnos por estos problemas. Esta "identificación" es un concepto imposible de formalizar, ya que sólo significa que, de hecho, son diferentes, pero que, no obstante, escribiremos un signo de igualdad entre ellas y utilizaremos la misma notación para referirnos a ambas. Si fuéramos tan pedantes como para no permitirlo, el tratamiento de las matemáticas tendría muchas más definiciones tediosas y mucho menos contenido real e interesante. Por lo tanto, a partir de ahora, $X^n\times X^m = X^{m+n}$ y las matrices pueden definirse como conjuntos o mapeos o lo que sea, siempre que sepamos de qué estamos hablando.

Conclusión: Todas las notaciones son perfectamente aceptables, el único problema es que pueden acabar confundiendo a la gente. Así que explique siempre su notación.