Ejercicio Sakurai 2.17 (Oscilador armónico, operadores de escalera)

Question

En el campo del oscilador armónico y los operadores de escalera estoy tratando de resolver el ejercicio 2.17 de Sakurai y quiero probar la siguiente relación $$ \langle x^{2n} \rangle = (2n - 1)!! \langle x^2 \rangle^n $$ como una identidad útil debe ser $$ \int_{-\infty}^\infty dx x^{2n} e^{-cx^2} = \left(-\frac{d}{dc}\right)^n \int_{-\infty}^\infty dx e^{cx^2} $$

Hasta ahora he intentado enchufar la función de onda del oscilador armónico pero sin resultados prósperos.

¿Alguien tiene idea de cómo probar la primera relación?

Answer 1

Lo siento, pero es un problema fácil de resolver usando el operador de escalera. x aplicados en la función de onda uno por uno y el resto es fácil.

Aplicando la siguiente propiedad que se puede derivar fácilmente del operador de escalera (o simplemente usando la función de onda, de cualquier manera está bien, el procedimiento específico se puede encontrar en el libro de Griffiths):

$\displaystyle x\psi_n(x)=\frac{1}{\alpha}[\sqrt{\frac{n}{2}}\psi_{n-1}(x)+\sqrt{\frac{n+1}{2}}\psi_{n+1}(x)]$

donde $\displaystyle\alpha\equiv\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}$ .

Y supongo que el resto lo puedes hacer por tu cuenta. Simplemente aplica x en el sujetador y el ket y asegurarse de que están en el mismo estado.