¿Cómo pueden ser iguales las sumas de estas dos series?

Question

Estaba leyendo una tesis cuando la encontré:

Gauss intentó encontrar dicha fórmula pero sólo pudo demostrar que la función (x) está bien aproximada por la integral logarítmica:

La estimación de Gauss fue motivada por la observación hecha por Euler sobre la divergencia de la serie:

En la terminología de Euler, S = log (log ), que era una consecuencia de la fórmula del producto de Euler para la serie armónica:

Pues eso:

La pregunta es ¿cómo puede ser cierto lo siguiente?

Gracias.

Answer 1

El Serie Taylor para $-\ln(1-x)$ válido para cualquier $\lvert x\rvert <1$ es $-\ln(1-x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}$ .

Aplícalo a $\frac{1}{p}$ para cualquier número primo $p$ (para que $0< \frac{1}{p}\leq \frac{1}{2}$ ):

$$-\ln\left(1-\frac{1}{p}\right) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n p^n} = \frac{1}{p} + \frac{1}{2p^2}+ \frac{1}{3p^3}+\ldots$$ Se consigue la igualdad.

Answer 2

Esto se desprende de la serie taylor de $\ln(1-x)$ podemos probarlo así $$(\ln(1-x))'=-\frac{1}{1-x}=-(1+x+x^2+x^3+x^4\cdots$$ A partir de ahí $$\int(\ln(1-x))'dx=\int-(1+x+x^2+x^3+\cdots=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\cdots$$ conectando $x=\frac1p$ se obtiene $$\log(1-\frac1p)=\frac1p+\frac1{2p^2}+\cdots$$