Cómo demostrar esta desigualdad (como la desigualdad del triángulo)

Question

[Pregunta] $$ \left|\sqrt {x^2+y^2}-\sqrt {x^2+z^2}\right| \le |y-z| $$

[Mi esfuerzo] $$ \begin{align} &I_1=\sqrt {x^2+y^2} \le |x|+|y|\\ &I_2=\sqrt {x^2+z^2} \ge \left||x|-|z|\right|\\ \implies\\ &I_1-I_2 \le |x|+|y|-\left||x|-|z|\right|=\begin{cases} |y|+|z|, &\mbox {if }(|x|\ge|z|)\\ 2|x|+|y|-|z|,&\mbox {if }(|x|<|z|) \end{cases} \end{align} $$ De cualquier manera, no puedo reducir a $|y-z|$ .

Gracias de antemano.

Answer 1

Esto es exactamente la desigualdad triangular (llamada inversa) en $\mathbb R^2$ aplicado a los vectores $(x,y)$ y $(x,z)$ : $$\left|\sqrt {x^2+y^2}-\sqrt {x^2+z^2}\right|=\left|\|(x,y)\|_2-\|(x,z)\|_2\right|\leq \|(x,y)-(x,z)\|_2\\ =\|(0,y-z)\|_2=\sqrt{0^2+(y-z)^2}=|y-z|$$

Answer 2

Pista: El resultado es obvio si $x=0$ . Si $x\ne 0$ , multiplique la parte superior e inferior de la izquierda por $\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^2+z^2}$ ("racionalizar" el numerador). A continuación, utilice el hecho de que $\frac{|y+z|}{\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^2+z^2}}\le 1$ .