Determinar la imagen de $ A=\{z=x+iy \in \Bbb C$ | $y=2x \}$ a través de T.

Question

Tengo la siguiente transformación lineal:

$$T(z) = \frac{(-\frac 13 -i\frac 23)z - \frac i2}{\frac z2 -1}$$ donde $z \in \Bbb C$

Tengo que determinar la imagen de $ A=\{z=x+iy \in \Bbb C$ | $y=2x \}$ a través de T.

Entonces sé que $z$ es del tipo $z=x+2xi$ . ¿Qué debo hacer? ¿Tengo que calcular $T(x+2xi)$ ? No lo sé.

Answer 1

Como se indica en los comentarios, la función $T$ no es claramente un mapa lineal ya que no verifica $T(0) \neq 0.$ Tenemos $$ A = \{ x+ 2xi : x \in \mathbb R \}.$$ Por lo tanto, en $z = x+2ix $ tenemos

$$ T(x+2xi) = \frac{-10x^2-18x}{15x^2-12x+12}+i \frac{6+13x-20x^2}{15x^2-12x+12}$$

Dejemos que $X = X(x)$ sea la parte real y $Y = Y(x)$ la parte imaginaria. Entonces $x \mapsto (X,Y)$ es una parametrización de $C\setminus\{(-2/3,-4/3)\}$ donde $C$ es una cónica. Se puede comprobar que $C$ es un círculo con la siguiente ecuación $$ C\equiv (X+\frac{19}{24})^2 + (Y+\frac{1}{4})^2 = \frac{685}{576}.$$ Viendo que este círculo tiene un subconjunto del plano complejo entonces tenemos

$$ T(A) = C \setminus \{\frac{-2}{3}+i \frac{-4}{3}\}.$$