Comprobación de la convergencia de una secuencia creciente: pista

Question

Se sabe (ver este enlace ) que $(1\sqrt{1}) + (1/\sqrt{2})+\cdots + (1/\sqrt{n})\ge \sqrt{n}$ para los enteros $n\ge 1$ .

Tomé la secuencia $x_n=(1\sqrt{1}) + (1/\sqrt{2})+\cdots + (1/\sqrt{n}) -\sqrt{n}$ .

En primer lugar, podemos ver que se trata de una secuencia creciente $$ x_{n+1}-x_n = \frac{1}{\sqrt{n+1}}-\sqrt{n+1}+\sqrt{n} $$ y $\frac{1}{\sqrt{n+1}} \ge \sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ .

No sé si la secuencia está acotada por encima o no. Puede alguien sugerir para ello, cómo proceder para la acotación y así para la convergencia.

Answer 1

Pista: fíjate en eso:

$$ x_{n+1}-x_n = \frac{1}{\sqrt{n+1}}-\sqrt{n+1}+\sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} $$

Answer 2

$x_n \to \infty$ . Para ello hay que tener en cuenta que $\int_k^{k+1} \frac 1 {\sqrt x} dx <\frac 1 {\sqrt k}$ Suma esto de $k=1$ a $n-1$ para ver que $x_n >\frac 1 {\sqrt n} +\sqrt n-2$ . [Tenga en cuenta que $\int_1^{n} \frac 1 {\sqrt x} dx=2\sqrt n -2$ ]