¿Puedes calcular la fuerza de las patas de la silla sobre el suelo?

Question

Tengo una pregunta un poco formalista. Por ejemplo, tenemos una silla simétrica normal con 4 patas, y masa $M$ . ¿Se pueden calcular las fuerzas de las patas de la silla sobre la superficie del suelo? $F_1,F_2,F_3,F_4$ con sólo estos datos y por qué no. ¿Cómo afecta al problema la suposición de que la silla es completamente rígida o que es elástica? ¿Es posible este cálculo con una silla de 3 patas?

Un poco de contexto para esta pregunta. Apenas recuerdo la afirmación de las clases de mi primer año de física clásica, de que dicha solución es posible para una silla con 3 patas, pero no para una silla con 4 patas, a menos que no sepamos cómo se deforma la silla. Estoy buscando una razón formal, por qué necesitamos tener en cuenta las deformaciones con 4 patas, pero no con 3 (aunque podríamos usarlo incluso para 3 patas).

Answer 1

Si la silla tiene tres patas, hay tres ecuaciones (suma neta de fuerzas igual a cero, momentos en torno a dos ejes horizontales) en tres incógnitas, que determinan las fuerzas en cada pata de forma inequívoca. Si introducimos una cuarta pata, tenemos que tener en cuenta la rigidez y la flexión de la silla para obtener una solución.

Este es el análogo bidimensional de la siguiente situación unidimensional. Si una viga horizontal con una carga conocida está apoyada en dos puntos, podemos determinar la fuerza en cada apoyo sin preocuparnos de la desviación de la viga. Pero si añadimos un tercer apoyo, tendremos que tener en cuenta la rigidez y la flexión de la viga.

Answer 2

Hay dos aspectos por los que no se pueden calcular las fuerzas a partir de los datos dados.

Geometría

La geometría no se da en grado suficiente:

• ¿Las piernas forman un rectángulo? Tal vez sea eso lo que quiere expresar la "simetría normal", pero las sillas simétricas del mundo real suelen tener las patas dispuestas en forma de trapecio.
• ¿Dónde se encuentra el centro de gravedad de M con respecto a las cuatro patas?

Por lo general, deben darse todas las dimensiones relevantes, o al menos la ubicación relativa del centro de gravedad de M con respecto a las posiciones de las piernas.

Resolución de las ecuaciones de fuerza

Hay cuatro valores desconocidos, pero sólo tres ecuaciones independientes disponibles:

• Las fuerzas deben sumar el peso de M.
• El momento total alrededor de algún eje delantero-trasero debe ser cero.
• El momento total alrededor de algún eje izquierda-derecha debe ser cero.

Para calcular un momento, además de las fuerzas también se necesita la geometría, es decir, las distancias desde el eje (ver arriba).

Aunque se conozca la geometría, sigue habiendo cuatro incógnitas entre tres ecuaciones, lo que significa que se pueden encontrar infinitas soluciones.

Usted menciona el concepto de deformación. Esto significa que se puede calcular la deformación que experimentará la silla al aplicar un conjunto dado de F1 ... F4. Suponemos que el suelo es perfectamente plano y que las patas están perfectamente alineadas. Entonces tienes una ecuación adicional por el hecho de que se supone que las cuatro patas llegan al suelo, lo que significa que la deformación es cero, por lo que sólo las combinaciones de fuerzas que resuelven esa restricción de no deformación pueden ser soluciones.

La física y las matemáticas exactas que hay detrás de la deformación pueden llegar a ser bastante complejas, por lo que normalmente no se puede escribir esta cuarta restricción como una simple ecuación concisa.

Answer 3

Este general El problema consiste esencialmente en encontrar las coordenadas baricéntricas (los pesos baricéntricos) de un punto dentro de un polígono general (o de un rectángulo específicamente). Este problema se llama a veces el problema de la fuerza en las patas de la mesa.

Solución

Considere la siguiente tabla de 5 caras

Cada pierna $i=1\ldots 5$ tiene coordenadas cartesianas conocidas $\boldsymbol{r}_i$ y el centro de masa C también tiene coordenadas cartesianas conocidas $\boldsymbol{r}_C$ .

El problema ahora es qué porcentaje del peso $w_i$ de la mesa soporta cada pata.

$$ \sum_{i=1}^n w_i = 1 $$

Pero también por la definición de centro de masa

$$ \sum_{i=1}^n w_i \boldsymbol{r}_i = \boldsymbol{r}_C $$

La solución de este problema pasa por resolver el siguiente sistema de ecuaciones. Se trata de una solución por mínimos cuadrados que minimiza la "energía" del sistema.

1. Construir una matriz (3×n) con cada punto como columna

   $$ \mathbf{G} = \left[ \begin{array}{c|c|c|c} \boldsymbol{r}_1 & \boldsymbol{r}_2 & \boldsymbol{r}_3 & \boldsymbol{r}_4 \end{array} \right] $$

2. Formar la matriz de coeficientes $\mathbf{M}$ añadiendo una matriz llena de unos al producto de la transposición de $\mathbf{G}$ con ella misma

   $$\mathbf{M} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} + \mathbf{G}^\top \mathbf{G} $$

   $$ M_{ij} = \{ 1 + \sum_k G_{k i} G_{k j} \} $$

3. Formar el vector constante $\boldsymbol{p}$ añadiendo un vector lleno de unos al producto de la transposición $\mathbf{G}$ con el punto del centro de masa

   $$ \boldsymbol{p} = \pmatrix{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1} + \mathbf{G}^\top \boldsymbol{r}_C $$ $$ P_{i} = \{ 1 + \sum_k G_{ki} c_k \}$$

4. Encuentra el vector $\boldsymbol{w}$ de los pesos de las esquinas resolviendo el sistema

   $$ \mathbf{M}\, \boldsymbol{w} = \boldsymbol{p} $$

5. Comprueba que la solución es efectivamente la esperada evaluando lo siguiente

   $$ \sum \boldsymbol{w} \equiv 1 $$ $$ \mathbf{G} \boldsymbol{w} \equiv \boldsymbol{r}_C $$

   o

   $$ w_1 + w_2 + w_3 + w_4 + \ldots \equiv 1 $$ $$ w_1 \boldsymbol{r}_1 + w_2 \boldsymbol{r}_2 + w_3 \boldsymbol{r}_3 + w_4 \boldsymbol{r}_4 + \ldots \equiv \boldsymbol{r}_C$$

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Ejemplo

Considere los siguientes 4 puntos aleatorios

$$ \begin{aligned} \boldsymbol{r}_1 & = \pmatrix{ 7.45578 \\ 1.97323 } & \boldsymbol{r}_2 & = \pmatrix{ 9.29723 \\ 0.994307} \\ \boldsymbol{r}_3 & = \pmatrix{ 8.63861 \\ 5.30554} & \boldsymbol{r}_4 & = \pmatrix{ 3.79046 \\ 8.75215 } \end{aligned} $$

y el centro de masa específico $$ \boldsymbol{r}_C = \pmatrix{ 8.0 \\ 4.0 } $$

a continuación, siga los pasos anteriores

1. $$\mathbf{G} = \begin{bmatrix} 7.45578 & 9.29723 & 8.63861 & 3.79046 \\ 1.97323 & 0.994307 & 5.30554 & 8.75215 \end{bmatrix} $$
2. $$\mathbf{M} = \begin{bmatrix} 60.4823 & 72.2801 & 75.8766 & 46.5308 \\ 72.2801 & 88.4271 & 86.5905 & 44.9431 \\ 75.8766 & 86.5905 & 103.774 & 80.1792 \\ 46.5308 & 44.9431 & 80.1792 & 91.9678 \end{bmatrix}$$
3. $$ \boldsymbol{p} = \pmatrix{ 68.5391527922694 \\ 79.35505307751927 \\ 91.3310423486012 \\ 66.33226226099814 } $$
4. $$ \boldsymbol{w} = \mathbf{M}^{-1} \boldsymbol{p} = \pmatrix{ -0.030933867991783423 \\ 0.4914450326148808 \\ 0.33345705320796537 \\ 0.20603178216894402} $$

y comprueba que la suma de los pesos es igual a 1, y la media ponderada de las posiciones de las piernas es igual al centro de masa.

$$ -0.031 + 0.491 + 0.333 + 0.206 = 1.00 $$ $$ \mathbf{G} \boldsymbol{w} = w_1 \boldsymbol{r}_1 + w_2 \boldsymbol{r}_2 + w_3 \boldsymbol{r}_3 + w_4 \boldsymbol{r}_4 = \pmatrix{ 8.00 \\ 4.00 } \; \checkmark $$

Resumen, la pierna (1) lleva $-3.1\%$ del peso, la pierna (2) lleva $49.1\%$ del peso, la pierna (3) lleva $33.3\%$ del peso y la pierna(4) lleva $20.6\%$ del peso.