Una pregunta sobre la naturaleza local de la gavilla coherente

Question

En la definición de una gavilla coherente:

1) $\mathcal{F}$ es de tipo finito;

2)para cualquier conjunto abierto $U$ , cualquier $n$ , cualquier $u: \mathcal {O}^n_U \rightarrow \mathcal{F}_U$ tiene núcleo de tipo finito ;

¿Implica que si $(X,\mathcal{F})$ , $X$ está cubierto por $U_i$ donde cada $(U_i,\mathcal{F}_{U_i})$ es coherente, entonces $(X,\mathcal{F})$ es coherente?

Answer 1

Sí. Claramente, ser de tipo finito, es una condición local. Por lo tanto 1). La parte interesante es la 2). Dejemos que $\alpha : \mathcal{O}_U^n \to F$ sea un homomorfismo. Por supuesto, el núcleo de $\alpha|_{U \cap U_i}$ es de tipo finito. Este es el núcleo de $\alpha$ restringido a $U_i \cap U$ . Utilizando de nuevo que ser de tipo finito es una condición local, vemos que el núcleo de $\alpha$ es de tipo finito.