Esta pregunta supone un modelo elipsoidal de la Tierra. Su superficie de referencia se obtiene girando una elipse alrededor de su eje menor (trazada verticalmente por convención). Dicha elipse no es más que un círculo que se ha estirado horizontalmente por un factor de a y verticalmente por un factor de b . Utilizando la parametrización estándar del círculo unitario,
t --> (cos(t), sin(t))
(que define coseno y seno), obtenemos una parametrización
t --> (a cos(t), b sin(t)).
(Los dos componentes de esta parametrización describen un viaje alrededor de la curva: especifican, en coordenadas cartesianas, nuestra ubicación en el "tiempo" t .)
El latitud geodésica , f de un punto cualquiera es el ángulo que forma "arriba" con el plano ecuatorial. Cuando a difiere de b El valor de f difiere de la de t (excepto a lo largo del ecuador y en los polos).
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En esta imagen, la curva azul es un cuadrante de dicha elipse (muy exagerada en comparación con la excentricidad de la Tierra). El punto rojo de la esquina inferior izquierda es su centro. La línea discontinua designa el radio hasta un punto de la superficie. Su dirección "hacia arriba" se muestra con un segmento negro: es, por definición, perpendicular a la elipse en ese punto. Debido a la exagerada excentricidad, es fácil ver que "arriba" no es paralela al radio.
En nuestra terminología, t está relacionado con el ángulo que forma el radio con la horizontal y f es el ángulo formado por ese segmento negro. (Tenga en cuenta que cualquier punto de la superficie puede verse desde esta perspectiva. Esto nos permite limitar tanto t y f para estar entre 0 y 90 grados; sus cosenos y senos serán positivos, por lo que no tenemos que preocuparnos de las raíces cuadradas negativas en las fórmulas).
El truco está en convertir desde el t -parametrización a una en términos de f porque en términos de t el radio R es fácil de calcular (mediante el teorema de Pitágoras). Su cuadrado es la suma de los cuadrados de las componentes del punto,
R(t)^2 = a^2 cos(t)^2 + b^2 sin(t)^2.
Para hacer esta conversión necesitamos relacionar la dirección "arriba" f al parámetro t . Esta dirección es perpendicular a la tangente de la elipse. Por definición, la tangente a una curva (expresada como vector) se obtiene diferenciando su parametrización:
Tangent(t) = d/dt (a cos(t), b sin(t)) = (-a sin(t), b cos(t)).
(La diferenciación calcula la tasa de cambio. La tasa de cambio de nuestra posición mientras viajamos alrededor de la curva es, por supuesto, nuestra velocidad y que siempre apunta a lo largo de la curva).
Gira esto en el sentido de las agujas del reloj 90 grados para obtener la perpendicular, llamada vector "normal":
Normal(t) = (b cos(t), a sin(t)).
La pendiente de este vector normal, igual a (a sin(t)) / (b cos(t)) ("subida sobre bajada"), es también la tangente del ángulo que forma con la horizontal, por lo que
tan(f) = (a sin(t)) / (b cos(t)).
Equivalentemente,
(b/a) tan(f) = sin(t) / cos(t) = tan(t).
(Si tienes una buena visión de la geometría euclidiana, podrías obtener esta relación directamente de la definición de una elipse sin pasar por ninguna trigonometría o cálculo, simplemente reconociendo que las expansiones horizontales y verticales combinadas por a y b respectivamente tienen el efecto de cambiar todas las pendientes por este factor b / a .)
Mira de nuevo la fórmula de R(t)^2: sabemos que a y b -- determinan la forma y el tamaño de la elipse -- por lo que sólo necesitamos encontrar cos(t)^2 y sin(t)^2 en términos de f , lo que la ecuación anterior nos permite hacer fácilmente:
cos(t)^2 = 1/(1 + tan(t)^2)
= 1 / (1 + (b/a)^2 tan(f)^2)
= a^2 / (a^2 + b^2 tan(f)^2);
sin(t)^2 = 1 - cos(t)^2
= b^2 tan(f)^2 / (a^2 + b^2 tan(f)^2).
(Cuando tan(f) es infinito, estamos en el polo, así que sólo hay que poner f \= t en ese caso).
Esta es la conexión que necesitamos. Sustituye estos valores de cos(t)^2 y sin(t)^2 en la expresión de R(t)^2 y simplifica para obtener
R(f)^2 = ( a^4 cos(f)^2 + b^4 sin(f)^2 ) / ( a^2 cos(f)^2 + b^2 sin(f)^2 ).
Una simple transformación muestra que esta ecuación es la misma que se encuentra en Wikipedia. Porque a^2 b^2 = (ab)^2 y (a^2)^2 = a^4,
R(f)^2 = ( (a^2 cos(f))^2 + (b^2 sin(f))^2 ) / ( (a cos(f))^2 + (b sin(f))^2 )
