Densidad conjunta de variables aleatorias normales

Question

Dejemos que $Z=X+Y$ donde $X$ ~ $N(\mu,\sigma^2)$ y $Y$ ~ $N(0,1)$ son independientes. Encuentra la densidad conjunta de Z y X.

Es la primera vez que veo algo así, mira lo que hice a continuación:

Sé que $Z=X+Y$ ~ $N(\mu,\sigma^2+1)$ pero no ayuda mucho, así que desarrollé a través de Jacobian

$Z=X+Y$ y $W=X$ , este tengo que Jacobiano $J=-1\Rightarrow |J|^{-1}=1$ , y resolviendo esas ecuaciones $X=W$ y $Y=Z-W$ entonces

$$f_{x,y}(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2}*\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}y^2}$$ $$f_{x,y}(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma}e^{-\frac{1}{2\sigma^2}[(x-\mu)^2+\sigma^2y^2]}=\frac{1}{2\pi\sigma}e^{-\frac{1}{2\sigma^2}[x^2-2\mu x+\mu^2+\sigma^2y^2]}$$ sustituyendo a $X$ y $Y$ $$f_{z,w}(z,w)=\frac{1}{2\pi\sigma}e^{-\frac{1}{2\sigma^2}[w^2-2\mu w+\mu^2+\sigma^2(z-w)^2]}=\frac{1}{2\pi\sigma}e^{-\frac{1}{2\sigma^2}[w^2-2\mu w+\mu^2+\sigma^2(z^2-2zw+w^2)]}$$

Ahora estoy atascado, no puedo simplificar nada y ni siquiera sé que hay que hacer algo.

Answer 1

Desde $Z\sim N(\mu,1+\sigma^2)$ y $X\sim(\mu,\sigma^2)$ son conjuntamente normal, basta con conocer su covarianza.

$$E[ZX]-E[Z]E[X] = E[(X+Y)X] - \mu^2 = E[X^2] + E[XY] - \mu^2 = (\sigma^2 + \mu^2) + 0 - \mu^2 = \sigma^2$$

Así, $(Z,X)$ es una normal bivariante con media $$\left(\begin{array}{c} \mu\\ \mu \end{array}\right)$$ y la matriz de covarianza $$\left(\begin{array}{cc} \sigma^2+1 & \sigma^2\\ \sigma^2 & \sigma^2 \end{array} \right)$$