¿Por qué se define la magnetostática como $\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0$ ?

Question

No veo por qué la idea de corrientes estables (es decir, la magnetostática) implica que la densidad de carga $\rho(\vec{r},t)$ no tiene una dependencia temporal explícita.

¿Sólo viene de magnetostática que se define como $ \vec{\nabla} \cdot \vec{J}:= 0$ (tampoco veo por qué esto sería cierto) y por la ecuación de continuidad $\implies \frac{\partial\rho}{\partial t} = 0$ .

Introducción a la Electrodinámica, D.J. Griffiths sección 5.2.1 - Corrientes estacionarias

Answer 1

La magnetostática es, en cierto sentido, un concepto de juguete que se enseña a los estudiantes como preparación para la aproximación magneto-cuasiestática (MQS) formal. El propósito de la aproximación MQS es desacoplar el campo eléctrico del campo magnético. Esto se hace estableciendo $\frac{\partial}{\partial t} \vec E \approx 0$ por lo que la ley de Ampere se convierte en $\nabla \times \vec H \approx \vec J$ (ver http://web.mit.edu/6.013_book/www/chapter3/3.2.html )

Como queremos $\frac{\partial}{\partial t} \vec E \approx 0$ y también $\epsilon_0 \nabla \cdot \vec E = \rho$ entonces eso implica que $\frac{\partial}{\partial t} \rho \approx 0$

Al desacoplar los campos resulta mucho más fácil de resolver. Así que esta aproximación es muy útil de hacer. Permitiendo $\frac{\partial}{\partial t}\rho \ne 0$ resultaría en $\frac{\partial}{\partial t} \vec E \ne 0$ y así los campos se acoplarían de nuevo. Así que esta suposición resulta ser más importante que la de la corriente constante $\frac{\partial}{\partial t} \vec J \approx 0$ suposición. De hecho, en el MQS no se hace esta última suposición y se permite que las corrientes cambien a lo largo del tiempo, pero las ecuaciones siguen estando desacopladas y son sencillas de resolver en cada punto temporal.

Answer 2

Personalmente definiría una "corriente constante" como aquella que obedece $\frac\partial{\partial t} \mathbf J = 0$ en todas partes.

El requisito de que la densidad de carga en la "magnetostática" no cambie con el tiempo, $\frac\partial{\partial t} \rho = 0$ permite al estudiante utilizar las herramientas desarrolladas durante electro estática para averiguar qué hacen los campos eléctricos.

La mayoría de los tratamientos elementales (incluido Griffiths) comienzan con un capítulo o dos de electrostática con $\frac{\partial}{\partial t}\rho =0$ y $\mathbf J = 0$ . A continuación, un capítulo o dos de magnetostática con $\mathbf J\neq0$ pero $\mathbf J$ y $\rho$ ambos se mantienen constantes. A continuación, se introduce el condensador de carga o descarga como un ejemplo en el que hay regiones de $\frac\partial{\partial t}\rho \neq 0$ y por lo tanto $\frac\partial{\partial t}\mathbf E \neq 0$ motivando el descubrimiento de Maxwell de la necesidad de la corriente de desplazamiento. Esta estrategia pedagógica refleja la cronología histórica del desarrollo de la teoría.