Distribución universal de cuantificadores

Question

¿Son equivalentes los dos? Por favor, demuestre su respuesta

1) $\forall x(Ax) \to \exists y(By)$

2) $x(Ax \to Bx)$

Answer 1

Dejemos que $A(t)$ sea la afirmación de que $t$ es divisible por $4$ y que $B(t)$ sea la afirmación de que $t$ es divisible por $3$ . Sea nuestro dominio el conjunto $\{1,2,3,4\}$ de números enteros.

El $\forall x A(x)\to \exists yB(y)$ es cierto, ya que $\forall xA(x)$ es falso. En realidad, es doblemente cierto, ya que de hecho hay un $y$ tal que $B(y)$ .

Pero $\forall x(A(x)\to B(x))$ es falso.

Por lo tanto, las dos frases no pueden ser lógicamente equivalentes.

Observación: No hay nada especialmente divertido en los números enteros y la divisibilidad. Sin duda se pueden dar interpretaciones más divertidas de $A$ y $B$ .