Condensado de Bose-Einstein en 1D

Question

He leído que para un gas de Bose-Einstein en 1D no hay condensación. ¿Por qué ocurre esto? ¿Cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

A menudo se afirma que no hay condensación en $d<3$ . Las otras respuestas son correctas, pero seamos claros, en realidad hay dos supuestos presentes en la demanda:

1. Suponga que tiene $N$ bosones que no interactúan en $d$ -dimensiones en un hipervolumen $L^d$

2. Supongamos que estos bosones tienen una relación energía-momento de $E(p) = Ap^s$ .

Ahora bien, la forma de calcular la temperatura crítica ( $1/\beta_c$ ) para BEC requiere satisfacer la ecuación $$\int_0^\infty \frac{\rho(E)dE}{e^{\beta_c E}-1}=N$$

donde $\rho(E)$ es la densidad de estados. Que esta integral sea convergente o no depende de los valores de ambos $s$ y $d$ . Sin embargo, los detalles de la prueba dependen de ti. :)

Answer 2

Esto es obviamente pura geometría; precisamente porque la densidad de estados de energía cero no se acerca a 0 en $d<3$ (se comporta como $E^{\frac{d-2}{2}}$ ); (probablemente) la prueba más sencilla puede hacerse mostrando que esto hace explotar el número de partículas.

Answer 3

El "vector normal" a una superficie es bastante fácil: calcular las derivadas parciales con respecto a ambas variables dependientes (con respecto a $x$ y $y$ si tiene $z=f(x,y)$ con respecto a los parámetros $u$ y $v$ si tiene una representación paramétrica $(x\;\;y\;\;z)=(f(u,v)\;\;g(u,v)\;\;h(u,v))$ ), y luego tomar el producto cruzado de los vectores obtenidos, (con la opción de normalizarlo para que tenga longitud unitaria).

En cualquier caso, creo que es mejor intentar hacer superficies con representaciones paramétricas "fáciles": las manipulaciones son mucho más fáciles que si las tienes en forma cartesiana implícita.

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En el caso de los poliedros, encontrar las normales de las caras es una tarea aún más sencilla: se toma el baricentro/centroide de la cara en cuestión, se restan sus componentes a los componentes de dos vértices cualesquiera de la cara y se toma el producto cruzado de los dos vectores resultantes (con la opción de normalizar a la unidad de longitud después).

Answer 4

Es necesario aclarar que un gas de Bose uniforme y no interactivo (considerado como confinado en una caja periódica) en equilibrio térmico no tiene una ocupación macroscópica del modo de momento cero si $d<3$ . Esto no es del todo exacto para $d=2$ ya que la ocupación macroscópica se alcanza en T=0, o más bien la temperatura crítica tiende a cero en el límite de $N \to \infty$ , $V \to \infty$ , $N V = {\rm const}$ .

Sin embargo, este no es el caso si uno tiene potenciales externos y no hace ninguna aproximación al continuo en la termodinámica. Además, los condensados atractivos $(a_s < 0)$ puede formar estados estables y autolocalizados (solitones) incluso sin confinamiento en $d=1$ . Tales estados satisfacen las condiciones de orden de largo alcance fuera de la diagonal requeridas para el BEC.