$G$ modulo $N$ es un grupo cíclico cuando $G$ es cíclico

Question

Si G es un grupo cíclico y N es un subgrupo de G, demuestre que G/N (o GmodN) es un grupo cíclico.

Lo que tengo hasta ahora: Como N es un subgrupo del grupo cíclico G, G/N es un grupo cíclico.

Creo que me faltan detalles. ¿Qué sugerencias tiene?

Answer 1

La afirmación exacta vale para esto como para tu último post, en realidad no has afirmado por qué el resultado es cierto, sólo lo has dicho (perdón si sueno duro). Además, la misma cuestión que expuse la última vez, se aplica aquí. En general, si $C$ es cíclico y $f:C\to H$ es un homomorfismo suryente entonces $H$ es cíclico. ¿Por qué nos ayuda esto? ¿Por qué es cierto?

Answer 2

Explícitamente: $G$ es isomorfo a $\mathbb{Z}$ o $\mathbb{Z}_n$ para algunos $n\in\mathbb{Z_{\geq 2}}$ .

En el primer caso, cualquier subgrupo es de la forma $m\mathbb{Z}$ para algunos $m\in\mathbb{Z_{\geq2}}$ por lo que el grupo cociente es entonces isomorfo a $\mathbb{Z_m}$ que es cíclico.

En el segundo caso, cualquier subgrupo de $\mathbb{Z}_n$ es isomorfo a $\mathbb{Z}_k$ donde $k|n$ . El grupo cociente $\mathbb{Z}_n/\mathbb{Z}_k$ es isomorfo a $\mathbb{Z}_{\frac{n}{k}}$ que de nuevo es cíclico.

Así que básicamente: todos los subgrupos de grupos cíclicos son cíclicos, y un grupo cíclico cociente de un subgrupo cíclico es de nuevo cíclico.

Answer 3

Ahora $G = \langle g \rangle$ y $N \trianglelefteq G$ desde $G$ es abeliana. Como $N$ es normal en $G$ el grupo cociente $G/N$ existe y tiene sentido preguntarse si es cíclico. Entonces se puede demostrar que $G/N = \langle gN \rangle$ .