Encuentra todos los homomorfismos $\varphi: S_3 \to \mathbb{Z}_{4}$ .

Question

Me gustaría encontrar todos los homomorfismos $\varphi: S_3 \to \mathbb{Z}_{4}$ .

Lo que he probado hasta ahora:

Traté de hacer $\varphi(Id) = \bar{0} = \bar{4}$ (como alguien utilizó aquí ). Pero luego me di cuenta de que era porque el elemento de identidad coincide con el generador del grupo de dominio $\mathbb{Z}_{15}$ .

Y, por lo que sé, $S_3$ no tiene un generador.

Realmente no tengo ni idea de cómo hacerlo.

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** Corregido: $S_3$ tiene dos generadores: $d_1$ y $d_2$ . Aunque, no puedo usar el mismo truco que en el otro post.

$$S_3 = \left \{ Id=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}, d_1=\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}, d_2=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}, t_1=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}, t_2=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}, t_3=\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix} \right \}$$

Answer 1

El grupo $S_3$ sólo tiene $\{\mathit{Id}\}$ , $A_3$ (el subgrupo alterno) y $S_3$ como subgrupos normales. Si $\ker\varphi=S_3$ entonces tenemos el homomorfismo trivial. Podemos descartar $\ker\varphi=\{\mathit{Id}\}$ porque $S_3$ no es abeliana.

Supongamos que $\ker\varphi=A_3$ . Entonces $\varphi$ induce un homomorfismo inyectivo $\hat\varphi\colon S_3/A_3\to\mathbb{Z}_4$ y sólo hay uno de ellos, porque $\mathbb{Z}_4$ tiene sólo un subgrupo (cíclico) de orden dos, a saber $\{\bar{0},\bar{2}\}$ .

Terminar demostrando que efectivamente sólo hay un homomorfismo $\varphi$ tal que $\ker\varphi=A_3$ .

Answer 2

Una pista: Cada ciclo de tres debe asignarse a algún $a\in\mathbb Z_4$ con la propiedad $a+a+a=0$ Y sólo hay una posibilidad para ello.

Dado que el producto de dos transposiciones diferentes es un ciclo de 3, esto deja muy pocas posibilidades de lo que puede ser la imagen de cada una de las tres transposiciones.

Answer 3

Supongamos que ya lo sabes:

$S_3 \cong \langle a,b: a^3 = b^2 = e;ba = a^2b\rangle$ .

Entonces cualquier homomorfismo $\phi:S_3 \to \Bbb Z_4$ está completamente determinado por $\phi(a)$ y $\phi(b)$ .

Ahora el orden de $\phi(a)$ divide el orden de $a$ que es $3$ (un primo). Así que $\phi(a)$ debe tener orden $1$ o $3$ . Sin embargo, $\Bbb Z_4$ tiene no hay elementos de orden $3$ ( $3$ no divide $4$ ), por lo que sabemos $\phi(a) = \overline{0}$ .

Así, $\phi$ está completamente determinado por $\phi(b)$ que debe tener un orden $1$ o pedir $2$ (de nuevo, $2$ es un número primo, lo cual es bastante conveniente para nosotros).

Si $\phi(b)$ tiene orden $1$ , $\phi$ debe enviar todo a $\overline{0}$ . Este es el homomorfismo trivial (cero).

Por otro lado, si $\phi(b)$ tiene orden $2$ Debe ser que $\phi(b) = \overline{2}$ como es el caso de la sólo elemento de $\Bbb Z_4$ de orden 2. Esto nos permite escribir el único homomorfismo no trivial explícitamente como:

$\phi(e) = \overline{0}\\ \phi(a) = \overline{0}\\ \phi(a^2) = \overline{0}\\ \phi(b) = \overline{2}\\ \phi(ab) = \overline{2}\\ \phi(a^2b) = \overline{2}$

(Si tiene problemas para seguir esto, sustituya $(1\ 2\ 3)$ para $a$ y $(1\ 2)$ para $b$ ).