Estoy tratando de demostrar que $dx*dy$ (en coordenadas cartesianas) es igual a $r*dr*d$ (coordenadas polares). Conozco la imagen, pero quiero seguir otro camino:
$$x=r*cos$$ $$y=r*sin$$
$$d(r*cos)*d(r*sin()) \rightarrow ?$$
Respuestas
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Te sugiero que utilices la matriz jacobiana ya que esto no es muy riguroso. $$\begin{align*} |d(r \cos \phi)| |d(r \sin \phi)| &= |dr \cos \phi + r\,d\cos\phi| |dr \sin \phi + r\,d\sin \phi| \\ &= |\cos \phi\,dr - r \sin \phi\,d\phi| |\sin\phi\,dr + r \cos\phi\,d\phi| \\ &= r(\sin\phi)^2\,dr\,d\phi + r(\cos\phi)^2\,dr\,d\phi \end{align*}$$ El $(dr)^2$ términos y $(d\phi)^2$ son insignificantes.
Narasimham
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En el $x,y$ elemento del sistema de coordenadas del área o diferencial del área es $ dx\cdot dy $ (rectángulo rojo).
En el $r,\varphi$ elemento del sistema de coordenadas del área o diferencial del área es $ dr\cdot r d \varphi $ ( segmento del sector gris ).
Las áreas diferenciales infinitesimales ( o volúmenes) pueden calcularse tratándolas como si los lados fueran finitos. Es directamente geométrico.
El mismo resultado se obtiene utilizando la conversión jacobiana. Hace poco también leí que Leibnitz utilizaba este tipo de evaluaciones del producto cuando Newton trataba más utilizando el tiempo como diferencial.¡Yo pensaba que era algún tipo de atajo de ingeniería!
$$ dx\cdot dy = dr \cdot r d \varphi $$
