Rango de valores del parámetro desigualdad.

Question

Supongamos que $a,b,c>0$ satisface : $$5c-3a \leq b \leq 4c-a$$ y $$c\ln b \geq a + c\ln c$$ . Encuentre el rango de valores de $\frac{b}{a}$ .

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Mi enfoque:

porque $a>0$ y quiero construir la expresión de destino : $\frac{b}{a}$ . Divido la primera desigualdad por $a$ en las tres partes. y consigo : $$5\frac{c}{a}-3 \leq \frac{b}{a} \leq 4 \frac{c}{a} - 1$$ . En la segunda desigualdad. También quiero construir la $\frac{b}{a}$ . $$c\ln b -c \ln a \geq a+c\ln c -c \ln a \Rightarrow \frac{b}{a} \geq \frac{c}{a} \exp{\frac{a}{c}}$$

Pero no puedo ir más allá. Me deprime mucho ¿Cuál es la forma correcta de resolver esto? No sé

Answer 1

Esto es lo que hice:

Tenemos la siguiente desigualdad:

$$5c-3a\leq b\leq 4c-a.\quad\quad (E_0)$$

Desde $b>0$ , entonces puedo dividir por $b$ :

$$\dfrac{5c-3a}{b}\leq 1\leq \dfrac{4c-a}{b}.\quad (1)$$

Más información en $(1)$ puede ser visto como:

$$\dfrac{5c-3a}{b}\leq 1\leq \dfrac{5c-3a+2a-c}{b},$$ o $$\dfrac{5c-3a}{b}\leq 1\leq \dfrac{5c-3a}{b}+\dfrac{2a-c}{b},$$ o $$0\leq 1-\dfrac{5c-3a}{b}\leq \dfrac{2a-c}{b}.\quad (2)$$

Con $(2)$ podemos concluir que: $\dfrac{2a-c}{b}\geq0$ y como $b>0$ entonces $2a-c\geq0$ .

Finalmente tenemos: $$\dfrac{c}{a}\leq2.\quad\quad (E_1)$$

Ahora, volviendo a $(E_0)$ y dividirlo por $a$ obtenemos:

$$5\dfrac{c}{a}-3\leq \dfrac{b}{a}\leq 4\dfrac{c}{a}-1.\quad (3)$$

Utilizando $(E_1)$ tenemos un límite superior: $$\dfrac{b}{a}\leq 4\dfrac{c}{a}-1\leq7.$$

Ahora, es el momento de utilizar la desigualdad del logaritmo para obtener el límite inferior.

Lo tenemos:

$$c\log b\geq a+c\log c.$$

Primero hay que dividirlo por $c$ obtenemos:

$$\log b\geq \dfrac{a}{c}+\log c.$$

De nuevo utilizamos $(E_1)$ para ver eso: $\log \dfrac{b}{c}\geq \dfrac{a}{c} \geq\dfrac{1}{2}>0.$ (Necesitaba esto para garantizar que $\log \dfrac{b}{c}>0$ ). Entonces, esto es útil para dividir por $\log \dfrac{b}{c}$ en ambos lados. Entonces,

$$\dfrac{c}{a}\geq\dfrac{1}{\log \dfrac{b}{c}}.$$

Volver a $(3)$ y utilizar el lado izquierdo, obtenemos:

$$-3+5\dfrac{c}{a}\geq -3+\dfrac{5}{\log \dfrac{b}{c}}.\quad (4)$$

Ahora divide $(E_0)$ por $c$ y aplicar el registro (nosotros sobre el lado derecho) se obtiene:

$$\log \dfrac{b}{c}\leq \log(4-\dfrac{a}{c}).$$

Lo que equivale a (utilizando $(E_1)$ )

$$\log \dfrac{b}{c}\leq \log(4-\dfrac{a}{c})\leq \log\dfrac{7}{2}.$$

Ahora usa $(4)$ para conseguirlo:

$$-3+5\dfrac{c}{a}\geq -3+\dfrac{5}{\log \dfrac{b}{c}}\geq -3+\dfrac{5}{\log \dfrac{7}{2}}.\quad (E_2)$$

Conclusión:

$$-3+\dfrac{5}{\log \dfrac{7}{2}}\leq \dfrac{b}{a}\leq 7.$$ $$0.99\leq \dfrac{b}{a}\leq 7.$$

Editar: $\log$ es el logaritmo natural. Antes calculé mal.

Answer 2

Dejemos que $B = \frac{b}a, \: C = \frac{c}a$ . Tenga en cuenta que necesitamos el rango de $B$ . Entonces ya has obtenido las dos desigualdades siguientes en términos de estas variables: $$5C - 3 \le B \le 4C-1, \qquad B \ge Ce^{1/C}$$

La primera desigualdad necesita $5C-3 \le 4C-1 \implies C \le 2$ . Más información: $B > 0 \implies 4C-1 > 0 \implies C > \frac14$ . Así, $C$ sólo puede tomar valores en $(\frac14, 2]$ . De la misma manera, $B$ tiene que estar en $(0, 7]$ .

La segunda desigualdad requiere además que tengamos $\displaystyle B \ge \min_C Ce^{1/C}= e$ . Así que parece $B \in [e, 7]$ es el rango.