Esto es lo que hice:
Tenemos la siguiente desigualdad:
5c−3a≤b≤4c−a.(E0)
Desde b>0 , entonces puedo dividir por b :
5c−3ab≤1≤4c−ab.(1)
Más información en (1) puede ser visto como:
5c−3ab≤1≤5c−3a+2a−cb, o 5c−3ab≤1≤5c−3ab+2a−cb, o 0≤1−5c−3ab≤2a−cb.(2)
Con (2) podemos concluir que: 2a−cb≥0 y como b>0 entonces 2a−c≥0 .
Finalmente tenemos: ca≤2.(E1)
Ahora, volviendo a (E0) y dividirlo por a obtenemos:
5ca−3≤ba≤4ca−1.(3)
Utilizando (E1) tenemos un límite superior: ba≤4ca−1≤7.
Ahora, es el momento de utilizar la desigualdad del logaritmo para obtener el límite inferior.
Lo tenemos:
clogb≥a+clogc.
Primero hay que dividirlo por c obtenemos:
logb≥ac+logc.
De nuevo utilizamos (E1) para ver eso: logbc≥ac≥12>0. (Necesitaba esto para garantizar que logbc>0 ). Entonces, esto es útil para dividir por logbc en ambos lados. Entonces,
ca≥1logbc.
Volver a (3) y utilizar el lado izquierdo, obtenemos:
−3+5ca≥−3+5logbc.(4)
Ahora divide (E0) por c y aplicar el registro (nosotros sobre el lado derecho) se obtiene:
logbc≤log(4−ac).
Lo que equivale a (utilizando (E1) )
logbc≤log(4−ac)≤log72.
Ahora usa (4) para conseguirlo:
−3+5ca≥−3+5logbc≥−3+5log72.(E2)
Conclusión:
−3+5log72≤ba≤7. 0.99≤ba≤7.
Editar: log es el logaritmo natural. Antes calculé mal.