Ordenar la topología de las funciones continuas

Question

Tengo el siguiente problema de HW:

Dejemos que $$Y$$ sea un conjunto ordenado en la topología ordenada. Sea $$f, g: X \to Y$$ sea continua. Demuestre que el conjunto $$\{x|f(x) \leq g(x) \}$$ está cerrado en $X.$

Mi prueba: Demostramos que el complemento $\{x|f(x) > g(x) \}$ está abierto. Observe que $\{f(x)|f(x) > g(x) \}$ está abierto porque es un rayo abierto. Así que la imagen inversa $f^{-1}(\{f(x)|f(x) > g(x) \}) = \{x|f(x) > g(x) \}$ estará abierto porque $f$ es continua.

Pero lo que me llama la atención de esta prueba es que sólo he necesitado utilizar la continuidad de $f.$ Si sólo tuviera la continuidad de $g$ entonces también podría haber hecho que la prueba funcionara. Entonces, ¿lo único que se necesita es la continuidad de una de las funciones? He jugado con algunos ejemplos en $\mathbb{R}$ y parece que es el caso, pero no estoy seguro.

Answer 1

He aquí un contraejemplo si $g$ no es continua. Sea $X=Y=\Bbb R$ , dejemos que $f(x)=0$ para todos $x\in\Bbb R$ y que

$$g(x)=\begin{cases} -1,&\text{if }x\le 0\\ 1,&\text{if }x>0\,. \end{cases}$$

Entonces $\{x\in\Bbb R:f(x)\le g(x)\}=\{x\in\Bbb R:0\le g(x)\}=(0,\to)$ que no está cerrado.

Tu argumento se extravía al principio, porque no es necesariamente cierto que $\{f(x):f(x)>g(x)\}$ está abierto. Supongamos que $X=Y=\Bbb R$ , $f(x)=0$ para todos $x\in\Bbb R$ y $g(x)=x$ para todos $x\in\Bbb R$ Entonces

$$\{f(x):f(x)>g(x)\}=\{0\}\,,$$

que no está abierto.

Sin embargo, la idea de demostrar que $U=\{x\in X:f(x)>g(x)\}$ está abierta es una buena. Deja que $x_0\in U$ , $a=g(x_0)$ , $b=f(x_0)$ . Supongamos primero que hay algún $c\in(a,b)$ . Sea $V_a=(\leftarrow,c)$ y $V_b=(c,\to)$ ; $V_a$ es un nbhd abierto de $a$ en $Y$ y $V_b$ es un nbhd abierto de $b$ . Sea $W_a=g^{-1}[V_a]$ y $W_b=f^{-1}[V_b]$ ; $f$ y $g$ son continuas, por lo que $W_a$ y $W_b$ son nbhds abiertos de $x_0$ en $X$ . Sea $W=W_a\cap W_b$ ; $W$ es un nbhd abierto de $x_0$ y para cada $x\in W$ tenemos $f(x)>c>g(x)$ Así que $W\subseteq U$ .

Si no hay tal $c$ entonces $b$ es el sucesor inmediato de $a$ en $Y$ . En ese caso dejemos $V_a=(\leftarrow,b)=(\leftarrow,a]$ y $V_b=(a,\to)=[b,\to)$ y proceder a la definición de $W_a,W_b$ y $W$ como antes. Si $x\in W$ entonces $f(x)\in V_b$ Así que $f(x)>a$ , mientras que $g(x)\in V_a$ Así que $g(x)\le a$ y por lo tanto $f(x)>g(x)$ es decir, $x\in U$ . Por lo tanto, en este caso también encontramos que $x_0\in W\subseteq U$ . En resumen, cada punto de $U$ tiene un nbhd abierto contenido en $U$ Así que $U$ está abierto, como se desea.