¿Cuál es la cifra de las decenas de $3^{100}$ ?

Question

¿Existe una fórmula general para calcular la n-ésima cifra de cualquier número grande?

Answer 1

Tras la pregunta del título,

$$3^{100}=9^{50}=(10-1)^{50}\equiv\binom{50}210^2-\binom{50}110+1\pmod{1000}$$

Ahora, $$\binom{50}210^2-\binom{50}110=\frac{50\cdot49}210^2-500$$ $$=2500\cdot49-500=2500\cdot48+(2500-500)\equiv0\pmod{1000}$$

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Alternativamente, utilizando Función de Carmichael , $\lambda(1000)=100$

Answer 2

$3^{100}=81^{25}=(80+1)^{25}=(8\cdot10+1)^{25}=\sum_{k=0}^{25}C_{25}^k\cdot80^k=1\cdot1+25\cdot80+\ldots=1+2000+\ldots\rightarrow3^{100}\mod10^3=1\rightarrow\text{its last three digits are 001}.$

Answer 3

Nos gustaría calcular $3^{100}\pmod{100}$ . Esto nos dirá los dos últimos dígitos de $3^{100}$ que incluye la cifra de las decenas.

Procedemos de la siguiente manera: $3^4 = 81$ Así que..:

$$\begin{align} 3^8 & \equiv (81)^2 \equiv 61 \pmod{100} \\ 3^{16} & \equiv (61)^2 \equiv 21\pmod{100} \\ 3^{24} & \equiv 61\cdot 21 \equiv 81\pmod{100}\\ 3^{48} & \equiv (81)^2 \equiv 61 \pmod{100} \\ 3^{50} & \equiv 9\cdot 61 \equiv 49\pmod{100} \\ 3^{100} & \equiv (49)^2\equiv 01 \pmod {100} \end{align}$$

Así que los dos últimos dígitos son 01 .

En general es muy rápido de calcular $a^b\pmod n$ . Usted calcula $a^{\lfloor b/2 \rfloor}\pmod n$ (utilizando este método de forma recursiva si es necesario) y elevarlo al cuadrado, de nuevo mod $n$ ; si $b$ es impar se multiplica el resultado por $a$ y ya está.