Estaba repasando el tutorial de optimización de Stephen Boyd. Sin embargo, no entendí cómo se derivaba esta expresión
$sup\{{a_i^Tu \;|\; ||u||_2 <=r}\}$ = $r||a_i||_2$ .
He adjuntado la captura de pantalla para el contexto
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Dejar de lado el índice $i$ por comodidad, escriba $\alpha$ para $||a||$ Considere el hecho de que las longitudes al cuadrado de los vectores son no negativas y ampliar la longitud al cuadrado de una combinación lineal convenientemente elegida de $a$ y $u$ :
$$0 \le || r a - \alpha u||^2 = ||r a||^2 + ||\alpha u||^2 - 2(r a)' (\alpha u).$$
(La igualdad se mantiene si y sólo si $ra =\alpha u$ .) Sumando el último término a ambos lados y factorizando los escalares $r^2$ y $\alpha^2$ fuera da
$$\left(2 r \alpha\right) a'u \le r^2\alpha^2 + \alpha^2 ||u||^2 = \alpha^2\left(r^2 + ||u||^2\right).$$
Porque $||u|| \le r$ , $||u||^2 \le r^2$ De ahí que
$$\left(2 r \alpha\right)a'u \le \alpha^2\left(r^2 + r^2\right) = \left(2 r \alpha\right)r \alpha.$$
O bien $2 r \alpha=0$ o podemos dividir ambos lados por $2 r \alpha$ En cualquiera de los casos,
$$a'u \le r \alpha.$$
Dado que el valor $r \alpha$ puede alcanzarse cuando $\alpha u = r a$ Esto sí que es el supremum.
Esto es evidente desde el punto de vista geométrico: $u$ se limita a estar en la bola de radio $r$ y $a'u$ es $\alpha$ veces el componente de $u$ en el $a$ dirección. Ese componente es máximo cuando $u$ es paralelo a (y en la dirección) de $a$ que se produce cuando $\alpha u = r a$ .
