Relacionar la distribución de probabilidad binomial con la distribución de Poisson en un ejemplo

Question

Leyendo el libro de texto Mathematical Statistics and Data Analysis 3rd ed, de Rice. Se me ha ocurrido un ejemplo que estoy tratando de extender más allá del texto:

Así que estoy tratando de obtener una de las probabilidades de Poisson indicadas, pero utilizando la distribución binomial en su lugar. No estoy seguro de si estoy interpretando bien las cosas para conseguir mi objetivo declarado. Por ejemplo, tratemos de obtener $\text{Number of Deaths} = 0$ . A partir de la Probabilidad de Poisson, esto se da como $0.543$ .

Con la información dada soy capaz de calcular una "probabilidad" pero no estoy seguro de lo que significa:

$$np = \lambda \\ \Rightarrow p = \frac{\lambda}{n}$$

Así que sabemos que $n = 200$ y $\lambda = 0.61$ , lo que significa

$$p = \frac{0.61}{200} = 0.00305$$

Entendí que esto significaba la "probabilidad de morir por una patada de caballo". Aquí es donde me quedo atascado tratando de convertir el problema en un problema de distribución binomial. Podría ver enmarcar las cosas en términos de muertes -sin muertes y que posiblemente puede parecer:

$$\binom{200}{109}(0.00305)^{109}(0.99695)^{91}$$

Pero, ¿cómo haría las cosas si quisiera obtener 1 muerte, 2 muertes,...etc? ¿Cómo podría enmarcar las cosas para obtener las mismas (o cercanas) probabilidades de Poisson indicadas pero con una distribución binomial en su lugar?

Answer 1

La variable aleatoria a la que Bortkiewicz atribuye la distribución de Poisson con valor esperado $0.61$ es el número de muertes de este tipo en cada cuerpo en cada año. Así, si $n$ es el número de soldados de cada cuerpo y $p$ es la probabilidad de que un soldado muera de esta manera durante un año, entonces $np=\lambda = 0.61.$ Así que dejemos $X$ es el número de muertes de este tipo en un cuerpo determinado en un año. Entonces tenemos \begin{align} & \Pr(X=3) = \binom n 3 p^3(1-p)^{n-3} \\[10pt] = {} & \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} p^3 (1-p)^{n-3} \\[10pt] = {} & \frac{\big(np\big)^3 }{3!}\cdot {} \underbrace{ \frac{n(n-1)(n-2)}{n^3} \cdot \left( 1-\frac\lambda n \right)^{-3} }_\text{These approach 1 as $n\,\to\,\infty$} {} \cdot \left( 1 - \frac \lambda n \right)^n \\[12pt] \to {} & \frac{\lambda^3}{3!}\cdot 1 \cdot 1 \cdot e^{-\lambda} = \frac{0.61^3 e^{-0.61}}{3\cdot2\cdot1} \quad \text{as } n\to\infty. \end{align}

Answer 2

Una distribución binomial con $n=200$ y $p=0.00305$ mide el número de "éxitos" en 200 ensayos independientes, cada uno con una probabilidad de "éxito" de 0,00305. Si quieres que "éxito" sea "muerte" y "ensayo" sea "cuerpo-año", tienes un pequeño problema. En cada uno de esos 200 "ensayos" de años del cuerpo, cada uno tiene éxito (un "éxito" de muerte, en singular) o fracasa (ninguna muerte), por lo que no se pueden modelar múltiples muertes (éxitos) por año del cuerpo (ensayo).

Si realmente quieres aplicar la distribución binomial aquí, probablemente quieras pensar en un "juicio" como un encuentro persona-caballo con una probabilidad por encuentro de morir a patadas igual a $p$ . ¿Cuántos encuentros hay a lo largo de 200 años del cuerpo? No lo sabemos, pero probablemente sean muchos. Supongamos que hay $n=34000$ encuentros persona-caballo en 200 años de cuerpo. ¿Cuál es la probabilidad de que un solo encuentro conduzca a una muerte por patada? Bueno, a partir de los datos anteriores, hubo $65\times1+22\times2+3\times3+1\times4 = 122$ muertes, así que eso es $p=122/34000=0.00359$ .

Ahora, ¿cómo usamos esto $Binom(n=34000,p=0.00359)$ para obtener las probabilidades que queremos? Bien, el número de muertes por cuerpo-año se distribuirá con una distribución binomial donde $p$ es el mismo que antes pero $n$ es el número de encuentros persona-caballo por cuerpo-año . Dado que 34000 era el total de 200 cuerpos-año, el número de encuentros por cuerpo-año era $n=34000/200=170$ .

Ahora, como el número de muertes por patadas $X$ en un año tiene distribución $Binom(n=170, p=0.00359)$ podemos calcular: \begin{align} P(X=0) &= (1-0.00359)^{170} = 0.543 \\ P(X=1) &= 170(0.00359)(1-0.00359)^{169} = 0.332 \\ P(X=2) &= \left(170 \atop 2\right)(0.00359)^2(1-0.00359)^{168} = 0.101 \end{align}

¿Cómo sabía que el número correcto de encuentros persona-caballo que había que asumir era de 34000? No lo sabía. El número no importa realmente. Elige algo razonablemente "grande" (como 5000, por ejemplo) y vuelve a hacer los cálculos. Obtendrás más o menos las mismas respuestas.

Nota: Considerar que un "juicio" es un encuentro entre una persona y un caballo también es bastante arbitrario. Si lo prefieres, define una "prueba" como una sola persona (que sólo puede morir una vez) o como un caballo (que, si mata a una persona, probablemente será eutanasiado y no tendrá la oportunidad de volver a matar). Cualquier unidad que pueda dar lugar a cero o a una muerte, de manera que las unidades separadas puedan considerarse razonablemente independientes, servirá.