Bijección entre dos topologías: Continuidad, grosería y finura

Question

Dejemos que $f: (X, \mathcal{T}_2) \rightarrow (X, \mathcal{T}_1)$ sea una biyección entre dos espacios topológicos. Demostrar que $f$ es continua si y sólo si $\mathcal{T}_1 \subset \mathcal{T}_2$

Aquí está mi prueba para el sentido inverso:

Supongamos que $\mathcal{T}_1 \subset \mathcal{T}_2$ pero $f$ no es continua. Entonces hay un $U \in \mathcal{T}_1$ tal que $f^{-1}(U) \notin \mathcal{T}_2$ . Entonces, como $f$ es biyectiva, $U \in \mathcal{T}_1 \subset f(\mathcal{T}_2)$ , lo cual es una contradicción.

Para la dirección de avance, supongamos $f$ es continua pero $\mathcal{T}_1 \not\subset \mathcal{T}_2$ . Entonces hay un $U \in \mathcal{T}_1$ tal que $U \notin \mathcal{T}_2$ . Por la continuidad de $f$ , $f^{-1}(U) \in \mathcal{T}_2$ Y aquí es donde no estoy seguro de cómo proceder.

Answer 1

Por desgracia, ninguna de las dos cosas es cierta. Dejemos que

$$X=\{1,2\}$$ $$\mathcal{T}_1=\{\emptyset, X, \{1\}\}$$ $$\mathcal{T}_2=\{\emptyset, X, \{2\}\}$$

Ahora dejemos que $f:X\to X$ sea dada por $f(1)=2$ y $f(2)=1$ . Puede comprobar fácilmente que $f$ es continua (de hecho, es un homeomorfismo), pero tampoco $\mathcal{T}_1\subseteq \mathcal{T}_2$ ni $\mathcal{T}_2\subseteq \mathcal{T}_1$ .

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Por otro lado, dejemos que

$$X=\{1,2\}$$ $$\mathcal{T}_1=\{\emptyset, X, \{1\}\}$$ $$\mathcal{T}_2=\{\emptyset, X, \{1\}\}$$

Esta vez $\mathcal{T}_1\subseteq \mathcal{T}_2$ (son incluso iguales). Considere de nuevo $f(1)=2$ y $f(2)=1$ y observe que no es continua.

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La afirmación no es cierta para la biyección general $f$ . Sin embargo, es cierto para el mapa de identidad $f(x)=x$ .