Al demostrar que todo subconjunto conectado abierto de $\mathbb{R}^n$ es un camino conectado

Question

Me gustaría demostrar que todo subconjunto conectado abierto de $\mathbb{R}^n$ es un camino conectado.

Elijamos $E$ sea un subconjunto conectado abierto de este tipo, entonces dado cualquier punto $p \in E$ definiremos $F$ sea el conjunto de todos los puntos de E que pueden unirse a $p$ por un camino en $E$ .

La idea es demostrar que $F = E$ mostrando $F$ es clopen al igual que $F$ es un camino conectado.

Elegimos $q \in F \subseteq E$ Entonces, como $E$ es abierta, podemos encontrar una bola abierta $D_x(q,\epsilon)$ en $E$ .

Estas son mis preguntas.

1. Mi profesor dijo $D_x(q,\epsilon)$ es un camino conectado como cualquier punto de distancia menor que $\epsilon$ de $q$ pueden conectarse mediante una poligonal (= $D_x(q,\epsilon)$ puede ser contenida por $F$ ) pero no estoy seguro de cómo cada punto de $D_x(q,\epsilon)$ puede ser contenida por $F$ .

2. ¿Cómo se garantiza que $F$ ¿está abierto?

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Tenga en cuenta que $D_x(q, \epsilon)$ es convexo: cada par de puntos de la bola abierta puede ser conectado por una línea recta.

En particular, si $p$ puede estar conectada a la trayectoria de $q$ ( $ \iff q \in F$ ), y $q$ puede estar conectada por un camino a cada punto de $D_x(q, \epsilon)$ entonces cada punto de $D_x(q, \epsilon)$ está contenida en $F$ .

Answer 2

1. Porque si hay un camino $\gamma$ de $p$ a $q$ y si $r\in D_x(q,\varepsilon)$ puede considerar el camino $\gamma$ seguido de un segmento de línea desde $q$ a $r$ .
2. Porque para cada $q\in F$ , hay un centro de bolas abierto en $q$ y contenida en $F$ .