Perímetro de un triángulo con un ángulo de $120^\circ$ y lados en progresión aritmética

Question

Necesito encontrar el perímetro del siguiente triángulo en términos de $\ell$ . La única información extra que tengo es que los tres lados forman una secuencia aritmética.

Llevo un par de años dando clases particulares de matemáticas sobre estos temas y todavía me cuesta este problema. Estoy seguro de que hay algo bastante simple que no veo. ¡Se agradece cualquier ayuda!

Answer 1

Sugerencia

Es razonable suponer que los lados del triángulo, tienen una forma $a=3l-2d$ , $b=3l-d$ y $c=3l$ para algunos $d>0$ . Puede utilizar el ley de los cosenos como $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos {2\pi\over 3}=a^2+b^2+ab$$ y por sustitución, encontrar primero $d$ entonces $a+b+c$ .

Answer 2

Dejemos que $a$ , $b$ y $3l$ sean lados-longitudes del triángulo.

Así, $2b=a+3l,$ o $a=2b-3l$ y $$(2b-3l)^2+b^2+b(2b-3l)=(3l)^2$$ o $$7b^2-15bl=0,$$ que da $$(a,b)=\left(\frac{9l}{7},\frac{15l}{7}\right)$$ y $$a+b+c=\frac{45}{7}l.$$