La extensión mínima inyectiva es rígida

Question

Dejemos que $V$ ser un sistema de operadores.

Definición 1: Un par $(W, \kappa)$ se llama extensión de $V$ si $W$ es un sistema de operadores y $\kappa: V \to W$ es una isometría completa unital.

Definición 2: Una ampliación $(W,\kappa)$ de $V$ se llama extensión inyectiva si $W$ es un sistema de operadores inyectivos.

Definición 3 : Una ampliación $(W, \kappa)$ de $V$ se llama rígido si para cada mapa unital completamente positivo $\varphi: W \to W$ con $\varphi \kappa = \kappa$ necesariamente tenemos $\varphi = \iota_W$ .

Definición 4 : Una extensión inyectiva $(W,\kappa)$ de $V$ se llama mínimo si $\kappa(V)\subseteq W_1 \subseteq W$ con $W_1$ inyectiva implica que $W_1 = W.$

Pregunta : ¿Es una extensión inyectiva mínima necesariamente rígida? ¿Hay una forma rápida de ver esto? Tengo un argumento bastante largo en la línea de las cosas en Paulsen donde usamos seminormas mínimas, pero tal vez hay una manera más fácil. Si ayuda, sé que para las extensiones inyectivas, rigidez = esencialidad.

Answer 1

La prueba de Hamana (Teorema 3.5 en Injective Envelopes of Operator Systems, PubL RIMS, Kyoto Univ. 15 (1979), 773-785) es bastante directa. Consideremos el ordenamiento parcial en el espacio $\Xi = \{ \phi \in UCP(W, W) \mid \phi \kappa = \kappa \}$ dado por $\phi \prec \psi$ cuando $\| \phi(x) \| \leq \| \psi(x) \|$ para todos $x \in W$ . En primer lugar, hay que tener en cuenta que cada elemento de $\Xi$ domina un elemento mínimo en $\Xi$ ya que si $\{ \phi_i \}_i$ es una red decreciente en $\Xi$ , entonces tomando cualquier realización concreta $W \subset \mathcal B(\mathcal H)$ tenemos $E \phi \prec \phi_i$ para todos $i$ , donde $E: \mathcal B(\mathcal H) \to W$ es cualquier ucp idempotente y $\phi$ es cualquier punto límite de $\{ \phi_i \}_i$ en $UCP(W, \mathcal B(\mathcal H))$ que es compacto en la topología de convergencia puntualmente ultra débil.

En segundo lugar, hay que tener en cuenta que cualquier elemento mínimo $\phi \in \Xi$ es un idempotente. En efecto, para cualquier $N \geq 1$ y $x \in W$ tenemos $\| \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \phi^n( x ) \| \leq \| \phi(x) \|$ y por lo tanto por la minimalidad se deduce que esto es la igualdad. Considerando $x = y - \phi(y)$ tenemos $\| \phi(y) - \phi^2(y) \| = \| \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \phi^n(y - \phi(y) ) \| \leq \frac{2}{N} \| y \| \to 0$ .

Así, si cada idempotente en $\Xi$ es la identidad, se deduce que la identidad es el único mapa en $\Xi$ .

Answer 2

Dejemos que $\varphi: W \rightarrow W$ ser un mapa de la U.C.P.

Deja que Fix $(\varphi)=\{ w \in W: \varphi(w)=w\}$ .

Entonces, Fix $(\varphi)$ es un sistema de operadores inyectivos, si $W$ es un sistema de operadores inyectivos. Además, Fix $(\varphi)$ contiene $\kappa(V)$ , como $\varphi \circ \kappa= \kappa$ .

Por la minimidad de $W$ por lo que debemos tener que Fix $(\varphi)= W$ , estableciendo así la rigidez.