La equivalencia topológica de las Odas

Question

Vamos a tener la educación a distancia $x' = f(x)$, $f(0) = 0$, $x\in \mathbb{R^n}$. No es el clásico teorema que afirma que si todos los autovalores de a ${\rm Df}(0)$ tienen parte real distinto de cero, de $x'=f(x)$ $x'={\rm Df}(0) x$ son topológicas equivalente en el barrio de $0$.

Es allí cualquier generalización de este teorema?

Como tomar truncuated(a $n$-ésimo término) expansión de taylor de $f(x)$ el valor es $T_n(x)$. De ¿bajo qué condiciones es $x'=f(x)$ topologicaly equivalente a $x'=T_n(x)$ en el barrio de $0$?

Sabemos que la condición para $n=0,1$.

Para $n=0$ se $f(0)\neq 0$.

Para $n=1$ ${\rm Df}(0)$ tienen valores propios con parte real distinto de cero y $f(0)=0$

Si las condiciones para $n=0,1$ falla, es que hay alguno sabe condición para $n=2$ ?

En general, ¿se conocen las condiciones para $n\geq2$?

Answer 1

En primer lugar, use $n$ en tu post dos veces, en diferentes significados. Primera $n$ denota la dimensión del espacio de fase, y la segunda, $n$ significa que el orden de los términos de mantener. Voy a utilizar $d$ en lugar de $n$ en el caso anterior.

Mucho se sabe sobre el caso de $d=2$, aunque no todo. Suponga que se nos da polinomio sistema en el avión $$ \dot x=P(x,y)\\ \dot y=Q(x,y), $$ donde $P$ $Q$ son polinomios, y asumir que $(0,0)$ es aislado. Entonces es monodromic o no. El primero significa que no hay instrucciones específicas de las órbitas enfoque de este punto (foco o centro), el segundo significa que hay instrucciones específicas. En este no monodromic caso sabemos que un barrio de cero es la unión de los sectores, que pueden ser parabólico (creo que de un nodo), o hiperbólico (piense en una silla de montar), o elíptica (creo que de una familia de homoclinics a cero). Así, el que los términos de $P(x,y)$ $Q(x,y)$ son responsables por el comportamiento, y que se puede caer? Para esta generación un Newtons diagrama, que es un casco convexo de un conjunto de puntos con coordenadas $(\alpha,\beta)$, si hay un término en el sistema de la forma $x^\alpha y^\beta$. Todo lo que se puede ver desde el origen son los términos que son esenciales para el comportamiento. Existe un algoritmo de cómo proceder para averiguar la estructura exacta (véase, por ejemplo, la Teoría Cualitativa de los Planos Diferencial de los Sistemas). Así, lo que no se conoce? Por ejemplo, la cuestión de distinguir centro de atención en un número finito de pasos todavía está abierta.

Mucho menos se sabe de una dimensión arbitraria $d\geq 3$. Puedo recomendar intente leer el Poder de la Geometría Algebraica y Ecuaciones Diferenciales , pero este definitivamente no es una clase de introducción a leer.

Answer 2

Es cierto para todos los $T_n(x)$, debido al hecho de que $$ \mathrm{D}f(0)=\mathrm{D}T_n(0), $$ para cada $n\ge 1$.

Por lo tanto para cada $n\ge 1$, hay un barrio de $0$ donde las soluciones de $$ x'=f(x), $$ y $$ x'=T_n(x), $$ son topológicamente equivalentes.