He estado leyendo esto papel sobre el máximo y el mínimo de dos variables con distribución normal.
Dentro del documento está la fórmula para la expectativa de este el máximo de las dos variables. Se da a continuación:
$$ \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} \E(X) = \mu_1 \Phi\left( \frac{\mu_1-\mu_2}{\theta} \right) + \mu_2 \Phi\left( \frac{\mu_2-\mu_1}{\theta} \right) + \theta \phi\left( \frac{\mu_1-\mu_2}{\theta} \right) $$
Dónde:
- $\mu_1$ es la media de la primera variable aleatoria normalmente distribuida.
- $\mu_2$ es la media de la segunda variable aleatoria normalmente distribuida.
- $\Phi$ es la FCD de la normal estándar.
- $\phi$ es la PDF de la normal estándar.
- $\rho$ es el coeficiente de correlación entre las variables.
- $\theta$ es $\sqrt{\sigma_{1}^2 + \sigma_{2}^2 + 2\rho\sigma_{1}\sigma_{2}}$
Estoy tratando de usar esto para obtener la media de la nueva distribución pero me encuentro con lo que parece un problema obvio.
Si $\mu_{1} \neq \mu_2$ entonces el argumento para el $\Phi$ en el primer o segundo término de la suma será negativo. La CDF estándar no permite valores negativos
Tengo la impresión de haber malinterpretado fundamentalmente algo aquí. ¿En qué me he equivocado?
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Por definición, la FCD evaluada en cualquier número real $x$ da la probabilidad de que la variable (una variable Normal estándar en este caso) sea menor o igual que $x:$ que es un probabilidad y, por tanto, se encuentra entre $0$ y $1.$ No puede ser negativo.
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Sólo una pista Max(X,Y) = 1/2((X+Y)-|X-Y|). Así que sólo tienes que calcular E[|Z|] donde Z es una variable aleatoria normal con media mu y std sigma. Luego aplica la fórmula a X-Y y por supuesto E[X+Y]=E[X]+E[Y]