Multiplicación de números cuyos valorese están entre 0 y 1

Question

Dado un conjunto de números $Q = \{q_1,q_2,\cdots,q_n\} \subseteq (0,1]$ .

El producto $\prod\limits_{q_i\in Q}{q_i}$ se hace cada vez más pequeño cuando el cardinal $|Q|$ aumenta.

Eso es, $\prod\limits_{q_i\in Q}{q_i} \geq \prod\limits_{q_i\in Q^*}{q_i}$ donde $Q \subseteq Q^*$ , donde $Q$ y $Q^*$ se definen como arriba.

¿Existe un nombre para esta propiedad matemática?

Answer 1

Puedes ver esto como un caso especial de monotonicidad, o de inversión de orden:

Dejemos que $\mathscr{P}$ sea el conjunto de secuencias finitas $(q_1,\ldots,q_n)$ con $0<q_i\leq 1$ . Viene con un orden natural, dado por subsecuencias iniciales, es decir, $(q_1,\ldots,q_n)\leq(q_1,\ldots,q_n,q_{n+1},\ldots,q_m)$ .

Tenemos una función $\pi:\mathscr{P}\to[0,1]$ dado por $\pi(q_1,\ldots,q_n)=\prod_{i=1}^nq_i$ . La propiedad que ha declarado significa que $$Q_1\leq Q_2\implies \pi(Q_1)\geq\pi(Q_2)$$ lo que significa que la función $\pi$ es de orden inverso.

Ver Wiki para más detalles sobre las estructuras de los pedidos.

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Observación: He optado por considerar secuencias en lugar de subconjuntos de $\mathbb{R}$ para que podamos tener números repetidos entre los $q_i$ 's. Se podría hacer un análisis similar con subconjuntos finitos de $(0,1]$ y volver a obtener una función de inversión de orden $\pi:\{\text{finite subsets of }(0,1]\}\to(0,1]$ .