Demuestre que si $p$ es un número primo, entonces existe $n$ tal que $2^n(p+1) - 1$ no es un número primo.

Question

Demuestre que si $p$ es un número primo, entonces existe $n$ número natural tal que $2^n(p+1) - 1$ no es un número primo.

Traté de demostrar por contradicción, asumiendo que $a_n = 2^n(p+1) - 1$ es una secuencia creciente de números primos. Las únicas relaciones interesantes que he obtenido respecto a esta secuencia son las siguientes : $$ a_{n + 1} - a_n = (p+1)2^n $$ $$ a_n^2 = (p+1) (a_{2n} + 1) - a_{n + 1}$$ Así, $p + 1$ divide ambos $a_{n + 1} - a_n$ y $a_{n + 1} + a_n^2$ y por lo tanto $p + 1$ divide $a_n^2 + a_n$ .

Pero no estoy seguro de cómo continuar a partir de aquí. Cualquier sugerencia sería muy útil.

Muchas gracias.

Answer 1

Utilizar Mod $p$ . El pequeño teorema de Fermat implica que $2^{p-1}=1$ $mod$ $p$ implica que $2^{p-1}(p+1)-1=0$ $mod$ $p$ .