Prueba de que dos normas $\lVert\cdot\rVert_1$ y $\lVert\cdot\rVert_2$ son equivalentes

Question

1. Dos normas $\def\norm#1{\lVert#1\rVert}\norm\cdot_1$ y $\norm\cdot_2$ son equivalente si $\;\exists\;c_1,c_2>0$ tal que $c_1\norm x_1\le \norm x_2\le c_2\norm x_1$

Demuestra que $\norm x_1=\sum_{i=1}^n \lvert x_i \rvert$ y $\norm x_2=\left ( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right )^{1/2}$ son equivalentes.

Parece que $c_2$ es $1$ y que esto se puede demostrar con la inducción. Pero, ¿qué podría $c_1$ ¿ser?

editar

Lo que no entiendo es lo siguiente: Si elevo al cuadrado ambos términos, y expando $(\sum_{i=1}^n \lvert x_i \rvert)^2 = \left ( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right ) + \sum_{i=1}^n x_i(x_k+\dotsb+x_n)_{x_k\neq x_i}$ . Sin embargo, el segundo término crece con $n$ Así que, ¿cómo puede $\frac{\norm x_1}{\norm x_2} \leq C$ ¿en absoluto?

Answer 1

Quieres mostrar que para un fijo $n$ las normas $\|\|_1,\|\|_2$ son equivalentes en $\mathbb R^n$ . La constante $c_1$ dependerá de $n$ .

Una pista:
La desigualdad de Cauchy Schwarz.

Answer 2

Dejemos que $x=x_i$ para todos $i$ . Entonces $||x||_1=x\dim x$ y $||x||_2=\sqrt{\sum_{i=1}^{\dim x}x^2}=\sqrt{x^2\dim x}=x\sqrt{\dim x}$ . Por lo tanto, $$ \lim_{\dim x\to\infty} \frac{||x||_1}{||x||_2}=\sqrt{\dim x}=\infty $$ Así que los dos no pueden ser equivalentes según su definición.